Me he encontrado con una pregunta que no podía responder, y agradecería cualquier ayuda: Es cierto que $f_n \xrightarrow{m}0$ $\Rightarrow$ $ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}f_k \xrightarrow{m}0$? Donde $(X,{\mathcal{B}},m)$ es un espacio de probabilidad, y $\xrightarrow{m}$ significa que: $\forall \epsilon>0$, $ m([|f_n|\geq \epsilon]) \rightarrow 0$. Esto es similar a Cesaro convergencia, que es más débil que regular la convergencia, pero no es el caso aquí. He tratado de demostrar la proposición, o dar un contraejemplo, pero no logró tener éxito en cualquiera de los dos. Cualquier conocimiento será apreciada!
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GalmWing
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No, $f_n \stackrel m \to 0$ no implica $\frac 1 n \sum_{k = 1} ^ n f_k \stackrel m \to 0$. De hecho, si $P(X_n = n) = \frac 1 n$ $X_n = 0$ lo contrario, con $X_1, X_2, ...$ independiente, que es un bonito ejercicio para demostrar que $\frac{\sum_{k=1}^n X_k}{n}$ converge en distribución a una degenerada de variable aleatoria.
Sólo explícitamente dar un contraejemplo, considere la posibilidad de $P(X_n = x_n) = \frac 1 n$ $X_n = 0$ lo contrario con $x_n$ aumentando. A continuación, $X_n \to 0$ en la probabilidad. Pero incluso $n$, $$\sum_{k = 1} ^ n X_k \ge x_{n / 2} I(X_k \ne 0 \mbox{ for some $k \ge \frac n 2$})$$ since $x_n$ is increasing. So $$\sum_{k = 1} ^ k X_k \ge x_{n / 2}$$ with at least probability $$P(X_k \ne 0 \mbox{ for some $k \ge \frac n 2$}) = 1 - \prod_{k = n/2} ^ n \frac{k - 1}{k} = \frac 1 2 + \frac 1 n.$$ So, $\frac{\sum_{k = 1} ^ n X_k}{n} \ge \frac {x_{n / 2}} n$ with at least probability $\frac 1 2$. If $\frac{x_{n / 2}} n$ doesn't go to $0$ then this shows $\frac{\sum_{k = 1} ^ n X_k} n$ won't go to $0$ in probability; for example, if $x_n = n$ this shows that $\frac{\sum_{k=1}^n X_k}{n} \ge \frac 1 2$ with probability at least $\frac 1 2$ for even $$ n.
