¿Coinciden los morfismos afines en diferentes entornos?

Question

1.Si identificamos dos esquemas $X$ y $Y$ como dos preseaves de conjunto en la categoría de esquemas afines.( $Aff:=\text{CRing}^{op}$ ) Si existe un morfismo como transformaciones naturales $f:X\to Y$ Entonces, ¿cómo dar la definición del morfismo afín?

2.Si identificamos dos esquemas $X$ y $Y$ como dos categorías de láminas cuasi coherentes $QCoh_{X}$ y $QCoh_{Y}$ . Entonces el morfismo entre estos dos esquemas es un functor $f: Qcoh_{X}\to Qcoh_{Y}$ ¿Cómo dar la definición de morfología afín?

3. Si consideramos sólo el caso clásico. X e Y son dos esquemas. Supongamos $f:X\to Y$ es un morfismo afín. ¿Coincide esta definición de afinidad con las otras dos definiciones (si es que existen)?

Si existen tales definiciones de morfismos afines, ¿son equivalentes o no?

Answer 1

La siguiente respuesta se relaciona contextos 1 y 3.

Supongamos que tenemos una de morfismos de functors $X \to Y$ en el functor--de--los puntos de ajuste de 1. Luego a ver si este morfismos es afín, consideramos que cualquier abierto de inmersión $U \to Y$ donde $U$ es representable functor (es decir, un esquema afín, que se pensó en el functor--de--los puntos de camino), la forma de la fibra del producto $U \times_Y X$, y a ver si esto siempre es representable (es decir, si éste es de nuevo un esquema afín). Esto es sólo una reformulación de la definición habitual en contexto 3 en el lenguaje de contexto 1.

Answer 2

Para el caso 2) $f: X\to Y$ es afín si su imagen directa functor $f_*:Qcoh_X\to Qcoh_Y$ es fiel y admite no sólo a la izquierda adjoint (inversa de la imagen) $f^{*}$, pero también un derecho adjoint, decir $f^{!}$.

Si $f$ es cuasi-compacto y $X$ separados, a continuación, $f$ es afín iff es cohomologically afín, es decir, $f_*$ es exacto (Serre del criterium de affiness, cf. EGA II 5.2.2, EGA IV 1.7.17).

Answer 3

Emerton y Zoran respuestas completamente responder a la pregunta como se indica, pero no hay otra forma de pensar afín morfismos que vale la pena mencionar.

Dado cuasi-compacto y cuasi-separados de morfismos de los esquemas de $f:X\to Y$, $\newcommand{\O}{\mathcal O}f_*\O_X$ es un cuasi-coherente gavilla de $\O_Y$-álgebras. Este functor tiene un adjunto, llamado relativa $Spec_Y$, o relativa de Especificaciones. Dado un cuasi coherente gavilla de $\O_Y$-álgebras $\newcommand{\A}{\mathcal A}\A$, obtenemos un esquema más $Y$, $\phi^\A:Spec_Y \A\to Y$, con la propiedad de que $\phi^\A_*(\O_{Spec_Y \A})=\A$ $Hom_Y(X,Spec_Y \A)\cong Hom_{\O_Y\text{-alg}}(\A,f_*\O_X)$ cualquier $f:X\to Y$. Una de morfismos $f:X\to Y$ es afín a si y sólo si $X\cong Spec_Y(\A)$ ($Y$- scheme) para algunos $\A$ (que debe ser $f_*\O_X$). Ver EGA II §1 de este desarrollo, afín de morfismos.

Me parece que este modo de pensar acerca de las afín morfismos es útil por dos razones. En primer lugar, si estoy trabajando con un montón de esquemas afín $Y$, a menudo es más fácil para mí pensar en un montón de $\O_Y$-álgebras con el álgebra morfismos entre ellos. Segundo, la contigüidad en el párrafo anterior indica que cualquier (cuasi-compacto cuasi-separados) de morfismos $f:X\to Y$ tiene un canónica de la factorización de a través de un afín de morfismos $X\to Spec_Y(f_*\O_X)\to Y$, llama la Stein factorización (la primera de morfismos es Stein, lo que significa que la estructura de la gavilla empuja hacia adelante a la estructura de la gavilla). Esta factorización es a menudo muy útil; por ejemplo, si una de morfismos es cuasi-afín, el Stein de la factorización es un testimonio de su cuasi-affineness.