¿Cuáles son los dos polinomios $f,g \in \mathbb{C}[x,y,z]$ tal que $$\{(x,y,z): f(x,y,z)=g(x,y,z)=0\}\;=\;\{(t^3,t^4,t^5): t \in \mathbb{C}\}$$ holds as an equality of subset of $\mathbb{C}^2$?
Esta respuesta, como yo lo entiendo, dice que no son realmente tales polinomios. ¿Cómo podemos encontrar?
Ciertamente ambos polinomios necesitan estar en el ideal de esta curva, y por lo tanto $f(x,y,z)=p_1(xz-y^2)+p_2(yz-x^3)+p_3(z^2-x^2y)$, para algunos polinomios $p_i$$x,y,z$, y del mismo modo para $g$.
Por desgracia, simplemente no podemos igualar los coeficientes de cada monomio en las dos ecuaciones, ni resolver por lo general, estas ecuaciones a fin de garantizar que sus soluciones sólo serán puntos de la curva. Es allí una manera razonable para encontrar $f, g$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Primero de todo, podemos señalar que: \begin{equation} \begin{cases} x=t^3\\ y=t^4\\ z=t^5 \end{casos}\iff\begin{cases} x=t^3\\ y=tx\\ z=ty \end{casos}; \end{equation} si \begin{equation} t\in\mathbb{C}\setminus\{0\},\begin{cases} x=t^3\\ \displaystyle\frac{y}{x}=t\\ \displaystyle\frac{z}{y}=t \end{casos}\iff\begin{cases} \displaystyle x=\left(\frac{y}{x}\right)^3\\ \displaystyle x=\left(\frac{z}{y}\right)^3\\ \displaystyle\frac{z}{y}=\frac{y}{x} \end{casos}\iff\begin{cases} x^4=y^3\\ xy^3=z^3\\ xz=y^2 \end{casos}\iff\begin{cases} xz=y^2\\ x^2y=z^2\\ x^3=yz \end{casos}, \end{equation} entonces \begin{equation} \left\{(t^3,t^4,t^5)\in\mathbb{A}^3_{\mathbb{C}}\mid t\in\mathbb{C}\right\}=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{A}^3_{\mathbb{C}}\mid\begin{cases} xz=y^2\\ x^2y=z^2\\ x^3=yz \end{casos}\right\}=V\left(xz-y^2,x^2y-z^2,x^3-yz\right). \end{equation} ¿Estás de acuerdo?
