¿Cuántos elementos diferentes podemos obtener multiplicando todos los elementos de un grupo?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito.

¿Cuántos elementos diferentes podemos obtener multiplicando todos los elementos de un grupo?

Por supuesto, si $G$ es abeliano la respuesta es uno, pero cuando G no es abeliano, cambiar el orden de la multiplicación puede producir nuevos elementos.

Mi segunda pregunta está en realidad relacionada con mi intento de resolver la primera.

Dejemos que $S$ sea el conjunto de todos los elementos producidos al multiplicar todos los elementos de $G$ . Entonces, es fácil demostrar que $Aut(G)$ actúa sobre $S$ naturalmente. Me pregunto si esto puede ser transitivo.

Answer 1

Todos los productos son iguales modulo el subgrupo conmutador, por lo que $S$ está contenido en un coset de $G'$ . Resulta que $S$ es igual a este coset:

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304020808732572

Así que la respuesta es $|G'|$ .

Answer 2

La respuesta a su pregunta es aún más sutil. El conjunto de todos los productos posibles es siempre un coset del subgrupo conmutador.

Teorema Dejemos que $G$ sea un grupo finito de orden $n$ , digamos que $G=\{g_1, \dots, g_n\}$ y que $P(G)=\{g_{\sigma(1)}\cdot g_{\sigma(2)} \dots g_{\sigma({n-1})} \cdot g_{\sigma(n)}: \sigma \in S_n\}$ .

(a) Si $|G|$ es impar, entonces $P(G)=G'$

(b) Si $|G|$ es par, que $S \in Syl_2(G)$ . Entonces $P(G)=G'$ por si acaso $S$ es no cíclico . Si $S$ es cíclico, entonces $P(G)=xG'$ , donde $x$ es el único elemento de orden $2$ de $S$ .

Este resultado, muy poco trivial y bello, está relacionado con la combinatoria: la construcción de cuadrados latinos. Se basa en gran medida en la prueba de la llamada conjetura Hall-Paige (Hall, Marshall; Paige, L. J. Mapeos completos de grupos finitos . Revista de Matemáticas del Pacífico 5 (1955), no. 4, 541--549.). Esto se pudo demostrar gracias a la clasificación de los grupos simples finitos.