Prueba topológica de continuidad

Question

Sólo quiero ver si voy por buen camino. He estado luchando con esta pregunta desde hace varios días, así que realmente podría utilizar la ayuda en él, ya que realmente he dado una cantidad concertada de tiempo para pensar en ello.

Como sé que f es continua, sé que las preimágenes de conjuntos abiertos en R son abiertas en el rectángulo definido por [0,1] x [0,1]. Ahora quiero demostrar que g(x)=max{f(x,y)) es continua en [0,1]. El principal problema, creo que estoy teniendo es que no entiendo lo que: representa. Quiero tomar conjuntos abiertos y demostrar que sus preimágenes son abiertas para demostrar que g(x) es continua. Sin embargo, no estoy seguro de cómo formalizar esto o cómo construir un argumento que lo demuestre. ¿Quizás sería mejor usar la definición de continuidad usando secuencias? He intentado buscar ejemplos similares pero no los encuentro demasiado. Estaría muy agradecido por cualquier ayuda.

Answer 1

Sea $\epsilon > 0$ . Desde $f$ es continua en el cuadrado $[0,1]\times [0,1]$ es uniformemente continua. Por tanto, corresponde un $\delta > 0$ tal que para todo $(x,y),(a,b)\in [0,1]\times [0,1]$ , $\lvert x - a\rvert < \delta$ y $\lvert y - b \rvert <\delta$ implica $\lvert f(x,y) - f(a,b)\rvert < \epsilon$ . Dado $x,a\in [0,1]$ con $\lvert x - a\rvert < \delta$ Elige $y,z\in [0,1]$ tal que $g(x) < f(x,y) + \frac{\epsilon}{2}$ y $g(a) < f(a,z) + \frac{\epsilon}{2}$ . Entonces $g(x) - g(a) < f(x,y) - f(a,y) + \frac{\epsilon}{2} < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$ y de forma similar $g(a) - g(x) < f(a,z) - f(x,z) + \frac{\epsilon}{2} < \epsilon$ . Así $\lvert g(x) - g(a)\rvert < \epsilon$ siempre que $\lvert x - a\rvert < \delta$ . Así que $g$ es continua.