Yo estoy en lo correcto en el cálculo de $\sin(2\arcsin(\frac{1}{3}))$$\frac{4\sqrt{2}}{9}$?

Question

He logrado resolver un problema en mi libro de texto, y mi resultado está en contradicción con la del libro de texto:

$$\sin\left(2\arcsin\left(\frac{1}{3}\right)\right)$$

Mi respuesta es

$$\frac{4\sqrt{2}}{9}$$

Yo he usado la del ángulo doble identidad para el seno.

$$\sin\left(2\arcsin\left(\frac{1}{3}\right)\right)=2\sin\left(\arcsin\left(\frac{1}{3}\right)\right)\cos\left(\arcsin\left(\frac{1}{3}\right)\right)$$

y esta identidad:

$$\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2},$$

rendimiento

$$2*\frac{1}{3}*\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{8}}{3*3}=\frac{4\sqrt{2}}{9}$$

Pero el libro de texto de la respuesta es

$$\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Answer 1

El libro de texto es incorrecta. Usted está en lo correcto.

Wolfram Alpha es una buena herramienta para la comprobación de tales cosas.

Answer 2

Aviso, $$\sin 2A=2\sin A\cos A$$ & $$|\cos A|=\sqrt{1-\sin^2 A}$$ Now, we have $$\sin\left(2\sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\right)$$ $$=\sin\left(\sin^{-1}\left(2\frac{1}{3}\sqrt{1-\frac{1}{3^2}}\right)\right)$$ $$=\sin\left(\sin^{-1}\left(\frac{4\sqrt 2}{9}\right)\right)=\frac{4\sqrt 2}{9}$$

O. P. es el adecuado. Hay algún error probable en la respuesta en el libro de texto.