Ayuda con una generación de función y ecuación diferencial

Question

Tengo la generación de la función que estoy tratando de crear. Tiene una forma general:

$1 + cx + c(c-1)x^2 + c(c-1)(c-2)x^3 + \dots + c!x^c$

Me gustaría ver una forma cerrada para esta función. Me gustaría algo distinto de la suma. Estoy particularmente interesado si alguien podía caminar a través de cómo obtener el formulario para mí. Tenía la esperanza de que alguien pudiera continuar con lo que he hecho y me muestran cómo resolver lo que queda.

Mi intento

Así que trato de crear una función de $A(x)$ (que será la forma cerrada) el uso de las recurrencias. Aquí estoy usando técnicas (y especialmente la notación) de Wilf del Generatingfunctionology.

Me puse a $a_0=1$. Yo, a continuación, proceder a multiplicar por $(c-n)$. Mi conjetura es que la matemática debe ser algo como lo siguiente:

$a_{n+1}=c \cdot a_n - \frac{d A(x)}{dx}$

Estoy tratando de decir que el siguiente término debería ser $c$ veces el término anterior menos el $n$ veces en el periodo anterior. El segundo está representado por la derivada, creo. Así que supongo que esto podría ser la correcta. Por desgracia, yo no lo sé, así que estoy un poco perdido en este punto. Les agradecería mucho si alguien pudiera tomar de aquí y de explicar el resto en detalle.

La Ecuación Diferencial

Suponiendo que la última parte es correcta, la función se convierte en una ecuación diferencial:

$\frac{A(x)-1}{x}=c \cdot A(x) - \frac{d A(x)}{dx}$

Answer 1

Llame a su suma $S(x)$. Entonces, se puede escribir: $$ \begin{align*} S(x) &= c! x^c \sum_{0 \le k \le c} \frac{1}{k! x^k} \\ &= c! x^c \left. \exp \right|_c (1 / x) \end{align*} $$ Aquí $\left. \exp \right|_c (x)$ es la exponencial truncada suma (acaban de cortar después de la $c$ plazo).

Answer 2

Creo que su intento inicial es incorrecta. Si puedo resolver la propuesta de la ecuación diferencial, tengo \begin{eqnarray} A(x) = -\frac{1}{cx} \left( 1 - e^{cx} \right) = \sum_{k \geq 1} \frac{(cx)^{k-1}}{k!}, \end{eqnarray} donde yo he elegido la condición inicial para asegurarse de $1$ es el primer término de la expansión de la serie. La generación de la función que se busca es la siguiente: \begin{eqnarray} e^{1/x} \left( x^{c} \Gamma(c+1, \tfrac{1}{x}) - c (-x)^{c} \Gamma(0, \tfrac{1}{x}) (1 -c)^{(c)} \right) = 1 + \sum_{k = 1}^{c} c(c-1) \cdots (c-k+1) \ x^{k}, \end{eqnarray} que puede ser simplificado a \begin{eqnarray} e^{1/x} \left( \frac{(-x)^{c} \ \Gamma(0, \frac{1}{x})}{\Gamma(-c)} + x^{c} \ \Gamma(c + 1, \tfrac{1}{x}) \right) = 1 - \sum_{k = 1}^{c} c (1 - c)^{(k-1)} \ (-x)^{k}, \end{eqnarray} donde $\Gamma(n,x)$ es la función gamma incompleta se define como \begin{eqnarray} \Gamma(n,x) = \int_{x}^{\infty} t^{n-1} e^{-t} dt = (n-1)! e^{-x} \sum_{k = 0}^{n-1} \frac{x^{k}}{k!} \end{eqnarray} y $(x)^{(n)}$ es el símbolo de Pochhammer o el aumento de factorial, $x(x+1)\cdots (x+n-1)$. De esta forma no hace ninguna suposición sobre la integralidad de la $c$. Sin embargo, si $c$ es un entero positivo, entonces la fórmula se simplifica enormemente. Por ejemplo, si $c = 3$, el lado izquierdo se especializa para \begin{eqnarray} e^{1/x} x^3 \Gamma(4, \tfrac{1}{x}) = 1 + 3 x + 6 x^{2} + 6 x^{3}. \end{eqnarray} NB: no Hay ningún plazo adicional. El último exponente de $x$ coeficiente de $c!$. De hecho, los dos últimos coeficientes es $c!$ porque $c(c-1) \cdots 2 = c(c-1) \cdots 2 \cdot 1 = c!$.

En general, la generación de la función suponiendo integral de la $c$ es \begin{eqnarray} e^{1/x} x^{c} \ \Gamma(c+1, \tfrac{1}{x}). \end{eqnarray}

Answer 3

La forma general de su suma puede ser expresado sucintamente como

$$\sum (-c)_k (-x)^k$$

donde $(a)_k$ es un símbolo de Pochhammer.

Reconocemos a la vez que este es un hipergeométrica de la serie; en concreto, se trata de una ${}_2 F_0$ :

$${}_2 F_0 \left(-c,1;;-x\right)$$

que puede escribirse como una Tricomi función hipergeométrica confluente:

$$\frac1{x}U\left(1,c+2,\frac1{x}\right)$$

que puede ser re-expresadas como una función gamma incompleta:

$$x^c\exp\left(\frac1{x}\right)\Gamma\left(c+1,\frac1{x}\right)$$

Como para la ecuación diferencial, se puede obtener a partir de esta fórmula para dar:

$$x^2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}-\left(c-2-\frac1{x}\right)x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-cy=0$$

donde la solución de interés que satisface las condiciones iniciales $y(0)=1$$y^{\prime}(0)=c$.

Voy a dejar a los demás para precisar los detalles.

Answer 4

Si usted sabe acerca de la función Gamma incompleta , entonces la solución es inmediata

desde $\rm\quad\quad\quad\quad\quad\ \ \Gamma(s,x)\ =\ (s-1)\ \Gamma(s-1,x) + x^{s-1}\ e^{-x} $

por lo tanto $\rm\displaystyle\quad e^x\ \Gamma(s+1,x)\ =\ \sum_{k=0}^s\ \frac{s!}{k!}\: x^k\ \ $ $\rm\:s\in \mathbb N$

Su método de sumar los de menor factorical coeficiente de recurrencia $\rm\ c_{(k+1)}\ = \ (c-k)\ c_{(k)}\ $ dará lugar a una ecuación diferencial hipergeométrica con la solución anterior - asumiendo que usted sabe cómo resolver tales hipergeométrica ecuaciones diferenciales. Pero eso es excesivo en comparación con el anterior.

Answer 5

He encontrado una ecuación diferencial que da el resultado correcto en virtud de Mathematica 7.0.1. La ecuación diferencial es la misma que derivó en la pregunta (ver mi comentario sobre la adición de x):

$\frac{A(x)-1}{x}=c \cdot A(x) - \frac{d A(x)}{dx}$

El resultado se da como la solución (además de la serie) es:

$e^{-1/x}x^{-c}(C_1 - x^{c-1}E_c(-\frac{1}{x}))$

donde $E_c(z)$ es la Integral Exponencial de la Función, para que la siguiente ecuación tiene: $-x^{c-1}E_c(b)$ = $b^c x^c \Gamma[1-c,b]$ y $b=-\frac{1}{x}$. $C_1$ es la constante de integración.

Por favor tomar nota de mis derivación asumido $c \in \mathbb{N}$.