Pregunta: Vamos a $a_n$ positivo, distinto de cero entero. ¿Se conocen los criterios en orden de $$\sqrt{a_1+\sqrt{a_2-\sqrt{a_3+\sqrt{a_4-\sqrt{a_5+\ldots}}}}}$$ a converger ?
La motivación fue la pregunta inicial: ¿debemos creer $$\sqrt{2+\sqrt{3-\sqrt{5+\sqrt{7-\sqrt{11+\ldots}}}}}$$ converges ? One could equally be curious about $$\sqrt{2+\sqrt{4-\sqrt{6+\sqrt{8-\sqrt{10+\ldots}}}}}$$ and compare that to the nested radical constant. Also observe $$\sqrt{1+\sqrt{2-\sqrt{3+\sqrt{4-\sqrt{5+\ldots}}}}}$$ appears to be a complex number in stark contrast to the nested radical constant. So I guess we should be concerned knowing if $\sqrt{a_1+\sqrt{a_2-\sqrt{a_3+\sqrt{a_4-\sqrt{a_5+\ldots}}}}}$ es un número real.
Nota Vijayaraghavan caso especial de los Herschfeld del teorema anidada radicales. Pero esto no se aplica a la alternancia de más y menos. Haga clic aquí para Herschfeld del papel en anidada radicales
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una búsqueda de "anidada radical" se trae a colación este artículo en mathworld:
http://mathworld.wolfram.com/NestedRadical.html
Sólo generalmente se habla de los radicales donde todos los signos son positivos, a diferencia de tu caso.
Se menciona un teorema que mignt ser relevantes:
Herschfeld del teorema de convergencia:
Si $0 < p < 1$ y todos los $x_i \ge 0$ entonces $\lim_{n \to \infty} x_0 +(x_1+(x_2+(...x_n^p)^p)^p)^p $ existe si y sólo si $\lim_{n \to \infty} (x_n)^{p^n}$ está acotada.
Las referencias son
Herschfeld, A. "Sobre El Infinito Radicales". Amer. De matemáticas. Mensual 42, 419-429, 1935.
Jones, D. J. ", Continuó Poderes y una Condición Suficiente para la Convergencia." De matemáticas. Mag. 68, 387-392, 1995.
Su pregunta implica $p = \frac12$.
