Un espacio de Hilbert es un completo producto interior espacio; que es cualquier secuencia de Cauchy es convergente el uso de la métrica inducida por el producto interior.
De la Wikipedia: Un espacio de Hilbert separable si y sólo si tiene una contables ortonormales.
¿Cuáles son los ejemplos de no-separables de Hilbert espacios? Al aplicar un punto de vista, son todos interesantes (finito o infinito) espacios de Hilbert separables?
El espacio de $l^2(\mathbb R)$ es otro ejemplo de un no-espacio de Hilbert separable: consta de todas las funciones $f:\mathbb R\to\mathbb R$ tal que $f(x)\ne0$ sólo para los contables muchos $x$, y $$ \sum_{x\in \mathbb R}f(x)^2 <\infty. $$ Es fácil ver que este es un espacio de Hilbert, el argumento decisivo es que el contable de la unión de conjuntos contables es contable.
Las funciones de $f_y$ definido por $$ f_y(x) = \begin{cases} 1 &\text{ if } x=y\\ 0 & \text{ else}\end{casos} $$ son una multitud innumerable de los elementos con la distancia $\sqrt2$, por lo tanto $l^2(\mathbb R)$ es incontable.
El conjunto de casi funciones periódicas con el interior del producto $$\langle f, g \rangle = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N} \int_{-N}^N f(x) \overline{g(x)}dx$$ has an uncountable orthonormal family $\{e^{i \omega x}\}_{\omega \in \mathbb{R}}$. Su terminación es un no-espacio de Hilbert separable.
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