$|f| $ es Lebesgue integrable , implica $f$ es también?

Question

Si $ f $ es integrable en Lebesgue, entonces $|f|$ es integrable en Lebesgue, pero ¿la inversa del resultado también es cierta?

Answer 1

No, no es así: Si $E$ es (acotado y) no medible, entonces $f = 2\chi_{E} - 1$ es en todas partes igual a $\pm1$ Así que $|f| \equiv 1$ pero $f$ no es medible, por lo que no es integrable.

Answer 2

Supongamos que $f$ para ser medible.

$f$ está limitada por $|f|$ y así es $L^1$ y, por tanto, integrable por Lebesgue.

Por otro lado, $f$ es lebesgue si $\int_{X}f^+ \, d\mu<\infty$ y $\int_{X}f^- \, d\mu<\infty$ pero sabemos que $|f|=|f^+ + f^-| \leq |f^+|+|f^-|$ y así $|f|$ es integrable si $|f|$ es.

Answer 3

Piensa en |f| como una división de f en dos funciones: $f_+$ y $f_-$ .

$f_+$ definimos como igual a f en el dominio {x: f(x) es no negativo}, y 0 en todos los demás x.

$f_-$ lo definimos como igual a -f en el dominio {x: f(x) es negativo} y 0 en el resto. $|f|=f_+ + f_-$ .

Si |f| es finito, entonces necesariamente ambos $f_+$ y $f_-$ son finitos.