Etale cohomology y l-ádico Tate módulos

Question

$\newcommand{\bb}{\mathbb}\DeclareMathOperator{\gal}{Gal}$ Antes de declarar mi pregunta que debo remarcar que sé casi nada sobre etale cohomology - todo lo que sé, he recogido a partir de la audición de la mano de comentarios y la lectura de la enciclopedia tipo de artículos. Así que estoy buscando una respuesta que va a tener algún sentido para un etale cohomology naif. Doy la bienvenida a correcciones a la evidente conceptos erróneos a continuación.

Deje $E/\bb Q$ ser una curva elíptica los números racionales $\bb Q$: a continuación, a $E/\bb Q$, para cada uno de los prime $\ell$, podemos asociar una representación $\gal(\bar{\bb Q}/\bb Q) \to GL(2n, \bb Z_\ell)$ proveniente de la $\ell$-ádico Tate módulo de $T_\ell(E/\bb Q)$ $E/\bb Q$ (es decir, el límite inversa del sistema de $\ell^k$ torsión puntos en $E$$k\to \infty$). La gente dice que el etale cohomology grupo $H^1(E/\bb Q, \bb Z_\ell)$ es dual a $T_\ell(E/\bb Q)$ (presumiblemente como $\bb Z_\ell$ módulo) y la acción de la $\gal(\bar{\bb Q}/\bb Q)$ $H^1(E/\bb Q, \bb Z_\ell)$ es es el mismo que el de la acción inducida por la acción de la $\gal(\bar{\bb Q}/\bb Q)$ inducida en $T_\ell(E/\bb Q)$.

Respecto a esta coincidencia, me podía imaginar dos situaciones posibles:

(a) Cuando se toma la definición de etale cohomology y cuidadosamente desempaqueta, uno ve que la coincidencia de describir es tautológica, presente en la definición.

(b) La definición de etale cohomology (en el caso de una curva elíptica variedad) y la acción de la $\gal(\bar{\bb Q}/\bb Q)$ que se lleva es conceptualmente diferente de la de la doble de la $\ell$-ádico Tate módulo y la acción de $\gal(\bar{\bb Q}/\bb Q)$ que lleva. La coincidencia es un teorema de alguna sustancia.

Es la situación más cerca de (a) o (b)?

Aparte de la acción $\gal(\bar{\bb Q}/\bb Q)$$T_\ell(E/\bb Q)$, hay otros casos en los que uno tiene una manera similar, "hormigón" descripción de la representación de etale cohomology grupos de variedades sobre el número de campos y de las acciones de la absoluta grupo de Galois sobre ellos?

Aunque no he visto esta que se indique explícitamente, me imagino que uno tiene la analogía [$\gal(\bar{\bb Q}/\bb Q)$ actúa sobre $T_\ell(E/\bb Q)$: $\gal(\bar{\bb Q}/\bb Q)$ actúa sobre $H^1(E/\bb Q; \bb Z_\ell)$]::[$\gal(\bar{\bb Q}/\bb Q)$ actúa sobre $T_\ell(A/K)$: $\gal(\bar{\bb Q}/\bb Q)$ actúa en $H^1(A/K; \bb Z_\ell)$ donde $A$ es un abelian variedad de dimensión $n$ $K$ es un campo de número: solicitar a la última pregunta, estoy buscando algo más sustancialmente diferentes y/o más general de lo que esta.

También he deducido que si uno tiene un proyectiva de la curva de $C/\bb Q$ , $H^1(C/\bb Q; \bb Z_\ell)$ es lo mismo que $H^1(J/\bb Q; \bb Z_\ell)$ donde $J/\bb Q$ es el Jacobiano de la variedad de $C$ y que, por mi por encima de inferencia supongo que será de doble a $T_\ell(J/\bb Q)$, con el Galois acciones que pasa a través de functorially. Si este es el caso, estoy en busca de algo más general o sustancialmente diferente de esto.

La pregunta subyacente que tengo es: donde (en términos concretos, no mediante una referencia a etale cohomology como una caja negra) hacer representaciones de Galois venir de un lado de la torsión de los puntos en los abelian variedades?

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[Editar (12/09/12): Una más nítida, estrechamente relacionadas con la cuestión es la siguiente. Deje $V/\bb Q$ a (suave) proyectiva variedad algebraica definida sobre $\bb Q$, y aunque puede que no sea necesario que tomemos $V/\bb Q$ tener buena reducción en $p = 5$. A continuación, $V/\bb Q$ se supone que tiene un adjunto 5-ádico Galois representación (a través de etale cohomology) y por lo tanto tiene un adjunto (mod 5) Galois representación. Si $V$ es una curva elíptica, este Galois representación tiene un campo de número de $K/\bb Q$ adjunto dada por contigua a $\bb Q$ de las coordenadas de la 5-torsión puntos de $V$ en el grupo de la ley, y uno puede escribir un polinomio sobre $\bb Q$ con la división de campo de $K$. El campo $K/\bb Q$ es de Galois y la representación $\gal(\bar{\bb Q}/\bb Q)\to GL(2, \bb F_5)$ proviene de una representación $\gal(K/\bb Q) \to GL(2, \bb F_5)$. (Soy consciente de la posibilidad de que a sabiendas de $K$ no es suficiente para recuperar la representación.)

Ahora, eliminar la restricción de que el $V/\bb Q$ es una curva elíptica, por lo que el $V/\bb Q$ es de nuevo una arbitraria suave proyectiva variedad algebraica definida sobre $\bb Q$. ¿El (mod 5) Galois representación adjunta a $V/\bb Q$ tienen asociado un campo de número de $K/\bb Q$ análoga a la (mod 5) Galois representación adjunta a una curva elíptica? Si es así, ¿de dónde viene este campo de número? Si $V/\bb Q$ es especificado por explícitas de ecuaciones polinómicas es posible escribir un polinomio con la división de campo de $K/\bb Q$ explícitamente? Si es así, es un detallado cálculo de este tipo de trabajado a cabo en cualquier lugar?

Voy a postear una recompensa por una buena respuesta a las preguntas sucesora de la "Edición" de la rúbrica.

Answer 1

De la OMI, el escenario está más cerca de su (a). Voy a esbozar una explicación de la dualidad entre el $H^1(E,\mathbf{Z}_l)$ y el doble a la Tate módulo. Tenemos $H^1(E,\mathbf{Z}_l)=\text{Hom}(\pi_1(E),\mathbf{Z}_l)$,

donde ese $\pi_1$ significa etale grupo fundamental con base el punto de origen $O$$E$. Así, el isomorfismo que realmente queremos es entre el$\pi_1(E)\otimes\mathbf{Z}_l$$T_\ell(E)$.

¿Qué es $\pi_1(E)$? En la topología del mundo, nos gustaría considerar la universalización de la cobertura $f\colon E'\rightarrow E$ y tome $\pi_1(E)$ a ser de su grupo de la cubierta de transformaciones. A continuación, $\pi_1(E)$ tiene una evidente acción en $f^{-1}(O)$. Si $E$ es el complejo colector de $\mathbf{C}/L$ por un entramado $L$, esto es sólo el natural isomorfismo $\pi_1(E)\cong L$.

Pero en la geometría algebraica mundo, no hay una cobertura universal en la categoría de variedades, por lo que la idea de la universalización de la cobertura es reemplazado con el proyectivas de sistema de $E_i\to E$ de etale cubre de $E$. A continuación, $\pi_1(E)$ es el límite proyectivo de la automorphism grupos de $E_i$$E$.

Una cosa buena acerca de $E$ ser una curva elíptica es que cualquier etale cubierta $E'\rightarrow E$ también debe ser una curva elíptica (una vez que elija un origen en él, de todos modos); si $E\rightarrow E'$ es el doble del mapa, a continuación, la composición de la $E\rightarrow E'\rightarrow E$ es la multiplicación por un número entero. Por lo que es suficiente para considerar sólo los cubre de $E$, que es simplemente la multiplicación por un número entero. Ya es $\pi_1(E)\otimes\mathbf{Z}_l$ nos interesa, es suficiente para considerar la isogenies de $E$ dado por la multiplicación por $l^n$.

¿Cuáles son la cubierta de las transformaciones de los mapas de $l^n\colon E\rightarrow E$? Hasta un automorphism de $E$, son simplemente las traducciones al $l^n$-puntos de división. Y ahora vemos la relación a la Tate módulo: Un sistema compatible de la cubierta de las transformaciones de estas cubiertas es exactamente lo mismo como un sistema compatible de $l^n$-puntos de división. Tenemos así el deseado isomorfismo. Naturalmente, es Galois compatible!

Al final, vemos que la torsión puntos se han escondido en la construcción de la etale cohomology grupos, por lo que no era exactamente una coincidencia. Espero que esto ayude.

Re edit: creo que tu mejor apuesta es trabajar de forma local. Primero de todos, usted no menciona que Galois representación que quería exactamente, digamos que usted quiere que la representación en $H^i$ de su variedad para un determinado $i$. Vamos a suponer que este espacio tiene dimensión $d$.

Paso 1. Para cada uno de los prime $p$ a los que su variedad $V$ tiene buena reducción, usted puede calcular el local de la función zeta de $V/\mathbf{F}_p$ contando los puntos en $V(\mathbf{F}_{p^n})$$n\geq 0$. De esta manera, se puede calcular la acción de la $p^n$th poder Frobenius en $H^i(V\otimes\overline{\mathbf{F}}_p,\mathbf{F}_5)$ para varios primos $p$.

Paso 2. Hacer esto es suficiente para que usted pueda recoger información sobre las estadísticas de cómo a menudo la Frobenius en $p$ tierras en cada clase conjugacy en el grupo $\text{GL}_d(\mathbf{F}_5)$. De esta manera usted puede adivinar la clase conjugacy de la imagen de Galois dentro de $\text{GL}_d(\mathbf{F}_5)$.

Paso 3. Ahora es su trabajo para encontrar una tabla de campos de número de $F$ cuya división de campo ha Galois grupo de iguales para el grupo que se encuentra en el paso anterior. He encontrado una tabla aquí: http://hobbes.la.asu.edu/NFDB/. Usted ya sabe que los números primos se ramifican en $K$ -- estos son, en el peor de los números primos de mala reducción de $V$ junto con 5-y usted se puede distinguir su $F$ de los otros campos de número de la división de comportamiento de sus encontró en el Paso 1. A continuación, $K$ es la división de campo de la $F$.

Una advertencia: Paso 1 bien puede tomar un tiempo muy largo, porque a menos que su variedad tiene alguna estructura especial o la simetría, contando los puntos en $V$ es Duro.

Otra advertencia: Paso 3 podría ser imposible si $d$ es grande. Si $d$ es 2, entonces tal vez usted está ok, porque puede haber un grado 8 campo de número de $F$ cuya división de campo ha Galois grupo $\text{GL}_2(\mathbf{F}_5)$. Si $d$ es grande, usted podría estar fuera de suerte aquí.

Usted es libre de no aceptar esta respuesta porque de las salvedades anteriores, pero creo sinceramente que usted ha hecho un infierno de una pregunta difícil aquí!

Answer 2

Hay una conjetura de la Fontaine y Mazur, que dice que cada "razonable" de Galois de la representación se produce en el etale cohomology de algunos algebraicas variedad, así que no hay forma de evitarla. Weil logró demostrar las conjeturas de Weil para las curvas y abelian variedades utilizando sólo una variante de la Tate módulos, pero que es casi tan lejos como puede ir. Lo mejor es entender etale cohomology de modo que ya no es una caja negra.

Para la Fontaine Mazur conjetura, ver Kisin del artículo, Avisos de AMS, 2007 (¿Qué es un Galois representación?).

Answer 3

Con respecto a la Dec 9 edit: Sí, pero probablemente no guste. Tomar la etale cohomology de V_{Q-bar} con coeficientes en Z/5Z. Entonces este es un finito abelian grupo, y Gal(Q-bar/Q) actúa continuamente en ella. Por lo tanto, el subgrupo de los Gal(Q-bar/Q) actuar trivialmente es abierto, y por lo tanto corresponde a un finita de Galois de la extensión de K de P.

No sé si, dada la definición de las ecuaciones de V, existe un algoritmo para encontrar un polinomio cuya división de campo es K. La única idea que me gustaría tener es el uso de fibration por curvas para intentar reducir la cuestión a la etale cohomology de curvas con coeficientes en los sistemas locales, lo que probablemente puede ser calculado mediante el uso de un Tate módulo de estilo de enfoque en Jacobians. Creo que es una pregunta interesante, pero apuesto a que nunca nadie la miraba.

Answer 4

Se podría decir que Galois representaciones provienen de las formas modulares (o, de manera más general y más conjecturally, de automorphic formas en grupos más general que GL_2.) Usted puede decir lo que significa para un ell-ádico Galois representación estar asociado a una forma modular sin referencia a etale cohomology. Pero si quieres probar la existencia de tal Galois representación-por ejemplo, por la construcción -- no veo que tiene más remedio que invocar etale cohomology. Y eso no está tan claro que esta menos "concreto" que, por ejemplo, la invocación de la ell-ádico Tate módulo de algunos no especificado abelian 6 veces o algo.