El cálculo de $\int_0^\infty \frac {\sin^2x}{x^2}dx$ usando el Teorema de los Residuos.

Question

Estoy tratando de calcular las siguientes integrales usando el Teorema de los Residuos, pero estoy bastante atascado: $$\int_0^\infty \frac{\sin^2x}{x^2}dx$$ He probado la aplicación de Jordania lema, después de haber escrito $\sin(x)$$\dfrac{\mathrm{e}^{ix}-\mathrm{e}^{-ix}}{2i}$, con no mucho éxito. También he intentado usar un rectangular de integración de ruta pero no me consiga mucho. Yo estaría agradecido por un perspicaz asesoramiento.

Answer 1

Escrito $\sin{x} = (e^{i x}-e^{-i x})/(2 i)$ es un buen primer paso. Entonces

$$\frac{\sin^2{x}}{x^2} = -\frac14 \frac{e^{i 2 x} + e^{-i 2 x} - 2}{x^2}$$

Así que ahora considerar

$$\oint_C dz \frac{e^{i 2 z}}{z^2} $$

donde $C$ es un semicírculo de radio $R$ en la mitad superior del plano con una pequeña semicircular chuleta de radio $\epsilon$ en la mitad superior del plano sobre el origen. Por Cauchy teorema, esta integral es cero. Por Jordan el lema, la integral sobre el exterior arco circular va a cero, como se $R \to \infty$. Por lo tanto

$$PV \int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{e^{i 2 x}}{x^2} + i \epsilon \int_{\pi}^0 d\phi \, e^{i \phi} \frac{1+i 2 \epsilon e^{i \phi} + \cdots}{\epsilon^2 e^{i 2 \phi}} = 0$$

donde $PV$ denota el valor principal de Cauchy. Así tenemos, como $\epsilon \to 0$,

$$PV \int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{e^{i 2 x}}{x^2} = -2 \pi$$

Ahora considerando

$$\oint_{C'} dz \frac{e^{-i 2 z}}{z^2} $$

donde $C'$ es el reflejo de $C$ sobre el eje real (es decir, los semicírculos se encuentran en la mitad inferior de plano), se vuelve a aplicar del teorema de Cauchy para obtener

$$PV \int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{e^{-i 2 x}}{x^2} + i \epsilon \int_{-\pi}^0 d\phi \, e^{i \phi} \frac{1-i 2 \epsilon e^{i \phi} + \cdots}{\epsilon^2 e^{i 2 \phi}} = 0$$

o

$$PV \int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{e^{-i 2 x}}{x^2} = -2 \pi$$

También debe quedar claro, desde conjuntos similares como el anterior, que

$$PV \int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{1}{x^2} = 0$$

Por lo tanto, la adición de lo anterior, nos encontramos con que

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{\sin^2{x}}{x^2} = -\frac14 (-2 \pi - 2 \pi) = \pi$$

o

$$\int_{0}^{\infty} dx \frac{\sin^2{x}}{x^2} = \frac{\pi}{2}$$

Answer 2

Sugerencia. Primera nota de que $$ \sen^2x=\frac{1}{2}\mathrm{Re}\, \big(1-\mathrm{e}^{2xi}\big), $$ y, por tanto, su integral es igual a $$ \frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1-\mathrm{e}^{2xi}}{x^2}dx $$ Luego de definir la curva de $\gamma_{\varepsilon,R}$ la unión de:

1. $\gamma_R(t)=R\mathrm{e}^{it}, \,\,t\in[0,\pi]$.

2. $\gamma_-(t)=t, \,\,t\in[-R,\varepsilon],$

3. $\gamma_\varepsilon(\pi-t),\,\,t\in[0,\pi],$

4. $\gamma_+(t)=t,\,\,t\in[\varepsilon,R]$.

A continuación, utilice los Residuos Teorema (aquí la función NO tiene polos en el interior de $\gamma_{\varepsilon,R}$), y vamos a $\varepsilon\to0$, $R\to\infty$.

RESPUESTA. $\dfrac{\pi}{2}$.

Answer 3

En esta respuesta, se muestra usando el contorno de la integración y el teorema del binomio que $$ \int_0^\infty\left(\frac{\sin(z)}{z}\right)^n\mathrm{d}z =\frac{\pi}{2^n(n-1)!}\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-1)^k\binom{n}{k}(n-2k)^{n-1} $$ Conectar $n=2$ da $\dfrac\pi2$.

Answer 4

Sugerencia: Escriba $\sin^2(x) = \frac{1}{2}Re(1 - e^{2ix})$.

Tome la integración como $$\int \frac{1 - e^{2iz}}{z^2} dz$$

Tomar el contorno s.t. $0 + 0i$ está fuera de su región cerrada.

Encontrar residuos y resolver.