Nonabelian infinito nilpotent grupos

Question

Puede dar ejemplos de nonabelian infinito nilpotent grupos?

Aquí es lo que tengo hasta el momento:

1. El grupo de Heisenberg.
2. La libre nilpotent grupo de clase $s$ (gracias Arturo por tu comentario aquí).
3. El grupo de (algunos) simetrías de polinomios de grado a por $s$ generado por la simetría que añade un polinomio constante (para cada polinomio constante) y la traducción de el argumento de el polinomio por un escalar (para cada escalar).

(tengo los 2 últimos ejemplos de http://terrytao.wordpress.com/2009/12/21/the-free-nilpotent-group/).

Estoy buscando más ejemplos de tales grupos. Infinito nonabelian grupos que no son nilpotent, pero tienen un nilpotent subgrupo de índice finito también son de interés para mí.

Answer 1

Por ejemplo, estos son construidos en Robinson, Un Curso en la Teoría de Grupos, 2ª Edición:

1. Deje $R$ ser un anillo (no necesariamente conmutativo, no necesariamente con la identidad); si $n\gt 0$, luego la dejamos $R^{(n)}$ ser el conjunto de todas las sumas de productos de $n$ elementos de $R$; a continuación, $R^{(n)}$ es un sub-anillo de $R$, e $R^{(n)}=0$ si y sólo si todos los productos de $n$ elementos de $R$ es igual a $0$. Si $R^{(n)}=0$ algunos $n\gt 0$, podemos decir que el $R$ es nilpotent anillo.

   Ahora vamos a $S$ ser un anillo con identidad, y asumir que $R$ es un sub-anillo de $S$ que es un nilpotent anillo (en particular, $R$ no contiene la identidad). Deje $U$ ser el conjunto de todos los elementos de la forma$1+x$$x\in R$. A continuación, $U$ es un grupo bajo la operación dada por la multiplicación en $S$: es decir, dado $1+x$$1+y$$U$, luego $$(1+x)(1+y) = 1 + (x + y + xy) \in U$$ y $$(1+x)^{-1} = 1 + (-x + x^2 - x^3 + x^4 -\cdots + (-1)^{n-1}x^{n-1})\in U,$$ donde $x^n = 0$.

   A continuación, $U$ es nilpotent grupo, y si dejamos $U_i = R^{(i)}$, luego $$1 = U_n \leq U_{n-1}\leq\cdots\leq U_1 = U$$ es un central de la serie para $U$.

   Por ejemplo, supongamos $S$ ser el anillo de $n\times n$ matrices de más de un infinito anillo conmutativo con identidad $T$, y deje $R$ el conjunto de la parte superior de cero triangular matrices; a continuación, $R$ es nilpotent, y el correspondiente $U$ es el grupo de la parte superior unitriangular matrices de más de $T$, que es nilpotent de clase exactamente $n-1$. (Esto generaliza el grupo de Heisenberg).

2. Deje $A$ ser un trivial abelian grupo, vamos a $D=A\times A$, y deje $\delta\colon D\to D$ ser dado por $\delta(a,b) = (a,ab)$. Deje $G=D\rtimes\langle \delta\rangle$. A continuación, $G$ es nilpotent de clase $2$. Si $A$ es infinita, por lo que es $G$.