$ a $ $b$ son números reales con a $0 < b < a$. Probar que si $n$ es un entero positivo, entonces $a^n - b^n \leq na^{n-1}(a - b)$.

Question

Me estoy tomando un básico de la matemática discreta curso y estoy teniendo un momento difícil con la Inducción Matemática.

El problema se expresa como:

Supongamos que $ a $ $b$ son números reales con a $0 < b < a$. Probar que si $n$ es un entero positivo, entonces $a^n - b^n \leq na^{n-1}(a - b)$.

El trabajo que he hecho hasta ahora es:

• Base A Paso: $$\begin{aligned} P(1) \equiv a^1 - b^1 &\leq (1)a^{(0)}(a - b) \\\ a - b &\leq (1)(1)(a - b) \\\ a - b &\leq a - b \end{aligned}$$

• Inductivo Paso: Suponga que $P(k)$ es cierto para cualquier fijo entero $k \geq 0$. Inducción De La Hipótesis: $$ P(k) \equiv a^k-b^k \leq ka^{k-1}(a-b)$$ Demostrar que $ P(k+1) $ es cierto dado $P(k)$: $$\begin{aligned} P(k+1) &\equiv& a^{k+1} - b^{k+1} &\leq (k+1)a^k(a-b)\\\ &\equiv& a\cdot a^k - b \cdot b^k &\leq (k+1)a^k(a-b)\\\ &\equiv& a\cdot a^k - b \cdot b^k &\leq ka^k(a-b) + a^k(a-b)\\\ &\equiv& a\cdot a^k - b \cdot b^k &\leq a \cdot \underbrace{\left( ka^{k-1}(a-b) \right)}_{IH} + a^k(a-b)\\\ \end{aligned}$$

Donde estoy

Realmente no sé a dónde ir desde allí. Creo que voy a jugar con el lado izquierdo tales que puedo encontrar la otra parte de mi Hipótesis de Inducción en el lado izquierdo, pero estoy perdido en ese punto.

Answer 1

Sugerencia (más bien grande, de la omi);

$$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1})\le (a-b)(a^{n-1}+a^{n-1}+\ldots$$

Answer 2

Desde $b<a$,$0<a-b$, lo $a^n-b^n\le na^{n-1}(a-b)$ si y sólo si $$\frac{a^n-b^n}{a-b}\le na^{n-1}.\tag{1}$$ We can write the left hand side of $(1)$ as $$\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-j}.\tag{2}$$ Use the fact that $0<b<$ to get the rest of the way. There is no need for induction if you know that $(2)$ tiene.