Es la capacidad analítica continua desde abajo?

Question

EDIT: también he hecho esta pregunta en mathoverflow, ya que podría ser demasiado especializado para math.stackexchange.com.

Me he estado preguntando acerca de los siguientes, no sé si alguien sabe la respuesta :

Para un conjunto compacto $K$ en el plano complejo, definir la capacidad analítica de $K$ por $$\gamma(K) := \sup |f'(\infty)|$$ donde el supremum se toma sobre todas las funciones de $f$ holomorphic y delimitado por la $1$ en el complemento de $K$ : $f \in H^{\infty}(\mathbb{C}_{\infty} \setminus K)$, $\|f\|_{\infty} \leq 1$. Aquí $$f'(\infty) = \lim_{z \rightarrow \infty} z(f(z)-f(\infty)).$$

Un teorema debido a Ahlfors establece que para cada compacto $K$, siempre existe una única función de $F$, llama la Ahlfors función de $K$, de tal manera que $F \in H^{\infty}(\mathbb{C}_{\infty} \setminus K)$, $\|F\|_{\infty} \leq 1$, y $F'(\infty)=\gamma(K)$.

No es difícil mostrar que $\gamma$ es continuo desde arriba : si $(K_n)$ es una disminución de la secuencia de conjuntos compactos, entonces $$\gamma(\cap_n K_n) = \lim_{n\rightarrow \infty} \gamma(K_n).$$ Esto, en esencia, de la siguiente manera a partir del teorema de Montel y el hecho de que $\gamma(E) \subseteq \gamma(F)$ siempre $E \subseteq F$.

Mi pregunta es la siguiente :

Es la capacidad analítica continua desde abajo? Más precisamente, si $(K_n)$ es una secuencia de conjuntos compactos tales que $$K_1 \subseteq K_2 \subseteq K_3 \subseteq \dots$$ y de tal manera que $K:=\cup_n K_n$ es compacto, entonces es cierto que $\gamma(K) = \lim_{n \rightarrow \infty} \gamma(K_n)?$

No pude encontrar nada en la literatura.

Gracias, Malik

Answer 1

Tu pregunta es bastante buena. Permítanme decir lo que yo sé acerca de.

Es una simple consecuencia del hecho bien conocido de que "la capacidad Analítica tiene la siguiente propiedad"

Si $K_a\subseteq K_b$, en su bien conocido el hecho de que $\gamma(K_a)\le\gamma(K_b)$.

Así que con que lo podemos conlude es que la secuencia {$\gamma(K_n)$ } es decreciente ( si se asume que el {$K_n$} es una disminución de la secuencia de subconjuntos compactos ) , y también se puede notar que su acotada abajo por $\gamma(K)$. Así que ahora implica los siguientes $$\gamma(K)\le\displaystyle\lim_{n\to\infty}\gamma(K_n)=\lim_{n\to\infty} \rm{Inf} \ \gamma(K_n).$$

Mediante su notación , deje $F_n$ ser el Ahlfors función de $K_n$, entonces es una cosa conocida que siempre formar una familia normal en todos los $\mathbb{C}\backslash K_n$ también tenemos :

Para cada $K\subset\Omega$ le corresponde un número $M(K)$ ( $M(K)\lt\infty$ ) tal que $|f(z)|\le M(K)$ todos los $f\in X$ $z\in K$ donde $X\subset H(\Omega)$ para algunos región $\Omega$.

Así que yo creo que se puede demostrar la afirmación anterior mediante el uso de "la Fórmula de Cauchy" y conocer algunas reglas básicas de la Convergencia y algunos antecedentes en el Análisis. ( Si usted todavía está buscando una prueba, puedo agregar, pero es bastante grande, y necesito para referirse a algunos viejos Análisis de los libros de la prueba. De todos modos, si usted está buscando una prueba de la afirmación anterior, hágamelo saber ) .

Viniendo de atrás , por la combinación de la declaración anterior y Famoso Cantor de la Diagonal argumento podemos concluir que la sub-secuencia de {$F_n$} convergen uniformemente ( en subconjuntos compactos de $\mathbb{C}\backslash K$ ) a una función $F$ analítica y delimitada por una en $\mathbb{C}\backslash K$ . Así que uno puede claramente implica que $$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \rm{Inf} \ \gamma(K_n) = \lim_{n\to\infty}\rm{Inf}\ F^{\prime}_{n}(\infty)\le F^{\prime}_{n}(\infty) = | F^{\prime}_{n}(\infty)|\le\gamma(K)$$

Así que ahora llegamos a nuestro destino a decir que , por lo que implica de por encima de las declaraciones que $$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \ \gamma(K_n)=\gamma(K)$$

Para agregar algo a esto, en un más amplio manera, usted está pidiendo aumento de la secuencia, así que permítanme mostrarles una idea clara de cómo se puede alcanzar.

Creo que la capacidad Analítica es algún tipo de medida , se mide el tamaño de un conjunto, como un no-extraíble singularidad . Así que puede ser comparado y se toma como una medida normal que satisface la propiedad $$\mu(A_n)\to \mu(A)$$ as $n\to \infty$.

Así que espero que es lo que usted está buscando. Donde $A=\bigcup^{\infty}_{n=1} A_n$ , y su nada pero el aumento de la secuencia de $$A_1\subset A_2\subset A_3......$$

Pero no estoy seguro de que se puede considerar la capacidad Analítica de ser una medida de la manera más estricta. Pero puede ser extendido a esa noción.

Y también algo que añadir, la parte superior de la continuidad de las que están hablando perfectamente definida para la medida de Hausdorff. No hay un estándar teorema que dice "Vamos a $E$ ser una unión de aumento de la secuencia {$E_n$} de subconjuntos de a$\mathbb{C}$, entonces para cualquier $S\in[0,2]$ , se deduce que el $$\displaystyle \lim_{n\to \infty} H^S(E_n)= H^S(E)$$. Pero hay algunos teoremas que establecen la relación entre la capacidad analítica y de Hausdorff Medida, pero no sé hasta qué punto puede ser utilizada para responder a su teorema.

Gracias.

( Por favor, siéntase libre de escribir comentarios y valiosas feed-back )