Encontrar una rama de $(4+z^2)^{1/2}$ que es analítica en el plano complejo de hendidura a lo largo del eje imaginario de $-2i$ $2i$

Question

Encontrar una rama de los múltiples valores de la función $(4+z^2)^{1/2}$ que es analítica en el plano complejo de hendidura a lo largo del eje imaginario de $-2i$ $2i$

Además, no es esta función ya analítica en la hendidura de $-2i$ $2i$sin ser modificado?

Answer 1

El truco con estos radicales de polinomios es por lo general para tenerlos en cuenta en factores lineales y elegir una rama del logaritmo de cada factor, tal que la cancelación se produce en algunos de los cortes de ramas. En este caso el proceso es particularmente simple y basta con elegir una rama del logaritmo de ambos factores, que es el que tiene la rama de corte a lo largo del eje imaginario negativo $$ -\frac{1}{2} \pi \le \arg \operatorname{Log} z < \frac{3}{2}\pi.$$ Vamos a seguir utilizando el menor caso, en el registro de la rama con el corte a lo largo del eje real negativo.

Ahora vamos a definir los $$ f(z) = \exp(1/2 \operatorname{Log}(z-2i)) \exp(1/2 \operatorname{Log}(z+2i)).$$ El problema nos obliga a hacer dos cosas: mostrar que $f(z)$ es analítica en el plano complejo de la rendija entre las dos logarítmica de las singularidades a través del origen y compruebe que está de acuerdo con $\sqrt{x^2+4}$ sobre la línea real.

Para la primera parte, sabemos con seguridad que los $f(z)$ es analítica en el plano complejo de la rendija de $2i$ a lo infinito, a lo largo de la negativa del eje imaginario. Pero podemos mostrar que es en realidad de manera continua a través de la rendija de debajo de $-2i.$ Para ello considerar el punto de $z=-ti$$t>2$, y sus dos vecinos: $-ti-\epsilon$ en la mitad izquierda del plano y $-ti+\epsilon$, en la mitad derecha del plano, con $\epsilon$ real y va a cero. Para el punto izquierdo tenemos $$ f(z) = \exp(1/2 \log(t+2) + 1/2 \times 3/2 \pi i) \exp(1/2 \log(t-2) + 1/2 \times 3/2 \pi i) \\= \sqrt{t^2-4} \exp(+3/2 \pi i).$$ Por el momento tenemos $$ f(z) = \exp(1/2 \log(t+2) - 1/2 \times 1/2 \pi i) \exp(1/2 \log(t-2) - 1/2 \times 1/2 \pi i) \\= \sqrt{t^2-4} \exp(- 1/2 \pi i).$$ Pero desde $\exp(- 1/2 \pi i) = \exp(+ 3/2 \pi i) = -i$ estos dos valores son los mismos, por lo que hemos de continuidad a través de la corte. Para obtener analiticidad, aplicar el teorema de Morera un círculo mentir en la corte. Se dividió a lo largo de una mitad izquierda y mitad derecha de cada uno compuesto de un arco cuyos extremos están conectados por una línea y se integran a lo largo de las dos mitades en sentido antihorario. Los dos segmentos de línea cancelar por la continuidad a través de la corte. La integral a lo largo del segmento izquierdo es cero, como es el que a lo largo del segmento derecho. Por lo tanto la integral a lo largo del círculo de mentir en la corte es cero, y por Morera del teorema $f(z)$ es de la analítica de allí.

Todavía tenemos que demostrar que $f(z)$ está de acuerdo con $\sqrt{x^2+4}$ sobre el eje real. Vamos a hacer el caso de $x>0.$ Por Pitágoras el módulo de $x-2i$ $\sqrt{x^2+4}$ como es el módulo de $x+2i.$ El punto de $x-2i$ formas un cierto ángulo con la $x$ eje, se $\theta$. La característica más destacable aquí es que $-1/2\pi < \theta < 0$, y que el punto de $x+2i$ de las formas que el mismo ángulo con la $x$ eje, solo positivo, y no hay ninguna discontinuidad en el ángulo, ya que estos dos son totalmente contenida en el rango del argumento de $\operatorname{Log} z.$ Se sigue que $$f(z) = \exp(1/2 \log\sqrt{x^2+4} + 1/2i\theta) \exp(1/2 \log\sqrt{x^2+4} - 1/2i\theta) \\=\exp(1/2 \log\sqrt{x^2+4}) \exp(1/2 \log\sqrt{x^2+4}) = \exp(\log\sqrt{x^2+4}) = \sqrt{x^2+4}.$$

Answer 2

La habitual función de raíz cuadrada necesita un corte que viene en de $\infty$ $0$debido a que existen dos números complejos que son la raíz cuadrada de cualquier número dado. Esto es a menudo tomada como el eje real negativo. Thenfor real $a$ y los pequeños real $\epsilon, (a+i\epsilon)^{\frac 12}$ es de alrededor de $i\sqrt a$ $(a-i\epsilon)^{\frac 12}$ es de alrededor de $-i\sqrt a. $Usted necesita para encontrar una expresión que para cualquier $z$'s que están cerca (siempre y cuando no estén en lados opuestos de este segmento) los valores de la función son cerca.