Demostrar que $\Gamma'(1)=-\gamma$

Question

Utilice la fórmula del producto para $1/\Gamma(z)$ para demostrar que $$\Gamma'(1)=-\gamma$$

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Sé que para la constante de Euler $\gamma$ ,

$$\frac{1}{\Gamma(z)} =ze^{\gamma z}\prod _{k=1}^{\infty} (1+\frac{z}{k})e^{-z/k}$$

Pero no puedo probarlo adecuadamente. Por favor, muéstrame explícitamente. Gracias:)

Answer 1

$$\log\Gamma(z)=-\log z-\gamma z-\sum_{k=1}^\infty\left[\log\left(1+\frac zk\right)-\frac zk\right]\implies$$

$$\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}=-\frac1z-\gamma-\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1k\frac k{k+z}-\frac1k\right)=-\frac1z-\gamma-\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1{k+z}-\frac1k\right)\implies$$

$$\Gamma'(1)=\frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)}=-1-\gamma-\left(\frac12-1+\frac13-\frac12+\ldots\right)=-1-\gamma-(-1)=-\gamma$$