De Lipschitz la continuidad de la paramétrico optimizador

Question

Considerar la paramétrico solución óptima $x^{*}: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ se define como

$$ x^*( y ) := \arg\min_{x \in X } \ \ x^\top x + x^\top A y \\ \quad \qquad \text{subject to: } \ f(x) = 0$$

donde $X \subset \mathbb{R}^n$ es compacto y convexo, $A = A^\top$, $f: \mathbb{R}^n \rightarrow Z \subset \mathbb{R}^n$ es continuamente diferenciable, por lo tanto Lipschitz continua, con $Z$ compacto.

Supongamos que, para todos los $y \in \mathbb{R}^n$, la solución óptima $x^*(y)$ es único.

Me pregunto si $x^*(\cdot)$ es Lipschitz continua. Y, si no, estoy buscando un contraejemplo y supuestos adicionales en virtud de que la demanda se mantiene.

Comentario: se puede demostrar que $x^*(\cdot)$ es continuo; si $f$ es afín, entonces el problema de optimización es convexo y, si la solución óptima es única, $x^*(\cdot)$ es Lipschitz continua, debido a que $x^*(y)$ sería la proyección de $- \frac{1}{2}A y $ sobre un conjunto convexo.

Answer 1

Para el caso de que $f(x)$ es lineal (o, más generalmente, $f(x)=0$ es un conjunto convexo), de hecho, no existe una prueba aquí

http://www.opentradingsystem.com/quantNotes/Projection_on_convex_set_.html Así que esto nos da una pista para un contr-ejemplo cuando $f(x)$ no es lineal y el conjunto $f(x)=0$ no es convexa.

Así que vamos construyó un simple contr-ejemplo en $R^2$: $f_1(x)=x_1^2+x_2^2-1, f_2(x)=x_1^2-1, A=I$. Se define sólo dos factible puntos: $(1,0)$$(-1,0)$. Ahora vamos a $y=(0,0)$. Obviamente para $y=(\epsilon,0)$ tu solución es $(1,0)$ $y=(-\epsilon,0)$ tu solución es $(-1,0)$. Esto completa el contr-ejemplo. aún más simple contr-ejemplo puede ser construido por 1 dimensional $x$. Deje $f(x)=x^2-1$, entonces la factibles $x$s sólo se $x=\pm 1$. Para $A=1$ $y\ne 0$ tenemos solución $x(y)=(y>0)1 +(y<0)(-1)$ y no la única solución de $\pm 1$$y=0$.

EDICIÓN Lamentablemente, estos ejemplos no son lo suficientemente buenas, porque la condición de unicidad de $x^*(y)$ es violado. Sospecho que la singularidad de $x^*(y)$ implica que la convexidad del conjunto de $\{x|X\in X, f(x)=0\}$ pero no veo cómo probar todavía. Geométricamente parece obvio para mí que si el conjunto no convexo podemos siempre puede encontrar un $y$ tal de que el proyector $x(y)$ no es única, por lo que la singularidad de $x(y)$ cualquier $y$ garantiza la convexidad.