¿Cómo es la expansión binomial de los vectores?

Question

Estoy tratando de averiguar si hay un intento de definir la expansión binomial de los vectores, es decir

$$( \overrightarrow a + \overrightarrow b)^n = ?? $$

Traté de buscar en Google sobre esto (por ejemplo: expansión binomial de vectores), pero las búsquedas simples no dan ninguna palabra clave útil como la forma de nombrar este enfoque.

Estoy tratando de visualizar cómo va la siguiente generalización. Cuando dos vectores están en la línea numérica (una dimensión), su suma es sólo la suma de la magnitud y el resultado está simplemente en la misma línea numérica. Cuando las líneas se encuentran en el espacio bidimensional general su "suma" es equivalente al cuadrado de la magnitud de la suma de sus vectores (que es esencialmente la expansión binomial de $(a + b)^2$ ).

Entonces, ¿cómo es la interpretación de $ (a+b)^3 $ ? Definitivamente no está relacionado con la suma de los vectores "normales" de los dos vectores en 3d (eso sería simplemente $(a + b)^2$ ).

Answer 1

Para calcular la expansión, es necesario poder realizar tanto la suma como la multiplicación, y ambas operaciones deben devolver otro "vector". La forma matemática elegante de decir esto es que los objetos $a$ y $b$ necesitan pertenecer a un anillo (que no es más que una estructura que tiene operaciones de suma y multiplicación).

Para que la fórmula sea verdadera (en lugar de simplemente tener sentido), necesita estar en una estructura algebraica que tenga conmutativo operaciones de suma y multiplicación (como un anillo conmutativo). Sin la conmutatividad, incluso el $n=2$ fórmula no es cierta - se obtiene $(a+b)^2 = a^2 + ab+ba+b^2$ y el lado derecho no es necesariamente igual a $a^2 + 2ab+b^2$ .

Los vectores (en el sentido habitual de la palabra) no tienen una operación de multiplicación conmutativa (ni siquiera asociativa), por lo que la expansión ni siquiera tiene sentido. Se puede interpretar $(a+b)^2$ como un producto punto: $(a+b)\cdot(a+b)$ . Esto funciona, pero te da un escalar. Entonces, ¿qué es $(a+b)^3$ ? Se podría decir que es el producto del escalar $(a+b)^2$ y el vector $(a+b)$ pero este proceso no parece conducir a nada útil.

Ver también esta pregunta .

Answer 2

Si utilizamos Producto de puntos entonces $(a+b)\cdot(a+b)=a\cdot a+2a\cdot b+b\cdot b$ .

Como no podemos definir $a^3=(a\cdot a)\cdot a$ no podemos generalizar esto para $n\geq 3$ .

La razón por la que no podemos definir $a^3$ es que $(a\cdot a)\in \mathbb R$ pero $a\in \mathbb R^n$ y el producto Dot se define sólo entre dos elementos de la misma dimensión.

Answer 3

Este es un posible uso de $(a+b)^n$ para los vectores $a$ y $b$ y cualquier número entero $n$ (aunque no concuerda con la analogía para $n=2$ ):

Piensa en los vectores como polinomios homogéneos de grado 1 en el dual del espacio lineal. Entonces $(a+b)^n$ es un polinomio homogéneo de grado $n$ . Por ejemplo, si $a=(1,2)$ y $y=(2,3)$ entonces se puede pensar en $a$ como $x+2y$ y de $b$ como $2x+3y$ Por lo tanto $(a+b)^n = (3x+5y)^n$ .

Answer 4

Es "raro", pero podrías codificar tus vectores en las diagonales de las matrices. Entonces habrás incrustado tu problema en un álgebra (un anillo con multiplicación conmutativa -- aunque la multiplicación de matrices no es generalmente conmutativa, la multiplicación de estas matrices diagonales sí lo es). Al igual que con algunas de las otras respuestas, no estoy seguro de que esto conduce a nada interesante, ya que es más o menos sólo el uso de la Producto de Hadamard .

\begin {align*} ( \vec {a} + \vec {b})^3 &= \left ( \begin {pmatrix} a_1 & & \Large {0} \\ & \ddots & \\ \Large {0} & & a_n \end {pmatrix} + \begin {pmatrix} b_1 & & \Large {0} \\ & \ddots & \\ \Large {0} & & b_n \end {pmatrix} \right )^3 \\ &= \overrightarrow {a^3} + 3 \overrightarrow {a^2 b} + 3 \overrightarrow {a b^2} + \overrightarrow {b^3} \end {align*} Dudo seriamente que haya algún tipo de historia geométrica interesante contada por esta ecuación.

Answer 5

Se puede tomar una expansión de tipo binomial de la expresión vectorial $$|a-b|^n,$$ donde $|\cdot|$ es la norma. Por ejemplo, en $\mathbb{R}^2$ considere $f(x) = |x+y|^n$ Taylor se explayó sobre el punto $x = (0, 0)$ . Para $n=2$ tenemos \begin{align} f(x) & = f(0) + x_1f_{x_1}(0) + x_2f_{x_2}(0) + \frac{1}{2!}\bigg(x_1^2f_{x_1x_1}(0) + 2x_1x_2f_{x_1x_2}(0) + x_2^2f_{x_2x_2}(0)\bigg) \\ & = |y|^2 + 2\langle x,y\rangle + |x|^2. \end{align} Para $n = 4$ se obtendría $$ |x+y|^4 = |y|^4 + 4 \langle x, y\rangle|y|^2 + (2|x|^2|y|^2 + 4\langle x, y \rangle^2) + 4 \langle x, y\rangle|x|^2 + |x|^4. $$