Parece que esta pregunta es muy bien conocido en la literatura, pero tengo una mala comprensión sobre estas materias, y parece que nadie se pregunta esta pregunta antes en matemáticas.stackexchange, así que me decidí a hacer esta:
Se suele decir que la 2ª Stiefel-Whitney clase es la obstrucción a la existencia de spin estructuras en un vector paquete, y si desaparece, entonces el conjunto de spin estructuras se convierte en un espacio afín sobre el 1er cohomology grupo de la base del espacio. Una explicación de los usos de la serre LES
$0\to H^1(X;\mathbb{Z}_2)\to H^1(P_{SO(n)};\mathbb{Z}_2)\to H^1(SO(n);\mathbb{Z}_2)\to H^2(X;\mathbb{Z}_2)$
donde la imagen del único elemento no trivial $a\in H^1(SO(n);\mathbb{Z}_2)\cong \mathbb{Z}_2)$ en el último mapa es el 2do Stiefel-Whitney clase del paquete. La virtud de esta foto es la que LES utilizada anteriormente explica tanto la obstrucción y la clasificación(es decir, la estructura afín) de girar las estructuras.
Bueno, esto es genial, y ahora paso a la compleja spin caso. Sabemos que la integral 3 de Stiefel-Whitney clase $W_3=\beta_2w_2$ donde $w_2$ es el 2do Stiefel-Whitney clase y $\beta_2:H^2(X;\mathbb{Z}_2)\to H^3(X;\mathbb{Z})$ es el Bockstein homomorphism., es la obstrucción a la existencia de complejos spin estructuras en un vector paquete de más de $X$. Y también sabemos que si esta desaparece, entonces el conjunto de todos los complejos de spin estructuras se clasifica como un $H^2(X;\mathbb{Z})$-espacio afín.
Una prueba de que yo sepa es más bien ad-hoc. En primer lugar, podemos definir el mapa
(el conjunto de $spin^c$ estructuras)$\to \left\{x\in H^2(Xl\mathbb{Z}):x\equiv w_2\mathrm{\;mod\;}2\right\}$
que es tomar la 1ª a la clase de chern de la determinante paquete de la $spin^c$ estructura. Es fácil comprobar que este mapa es surjective considerar uno de los equivalentes definición de $spin^c$ estructuras que un $spin^c$ estructura de un vector paquete de $E$ es equivalente a una opción de la línea del complejo paquete de $L$ y un giro de la estructura en $E\oplus L$(hasta calibre transformación en $L$), y por encima de la LES. Y entonces, por un determinado $x$, la acción de calibre transformación en $L$ identifica dos spin estructuras en $E\oplus L$ que se diferencian por el núcleo de $\beta_1:H^1(X;\mathbb{Z}_2)\to H^2(X;\mathbb{Z})$, por lo que con cada una de las $x$ hay $H^1(X;\mathbb{Z}_2)/\mathrm{ker}\beta_1=\mathrm{im}\beta_1$-valor de muchos a $spin^c$ estructuras, y claramente el conjunto de la RHS es $H^2(X;\mathbb{Z})/\mathrm{im}\beta_1$, dando la deseada declaración.
Lo que quiero saber es una obstrucción de la teórica alternativa a esta imagen. A menudo se dice, sin más detalles en muchas literatura, especialmente la parte de la obtención afín a la estructura en la $spin^c$ estructuras parece bastante misterioso para mí. (Tengo ni idea de cómo literalmente la prueba va.) Yo especialmente estoy interesado en el caso de los obstáculos a la ampliación de $spin^c$ estructuras dadas en el límite en el interior, que parece que es adecuado para utilizar la herramienta de obstrucción de la teoría, pero cualquier sugerencia o referencia se agradece.
Mi principal interés radica en la comprensión de la relación obstrucción a la extensión de un determinado $spin^c$ estructura en el límite $\partial M$ de una variedad diferenciable $M$ para el interior, que se pueden resumir como
La proposición. Existe una $spin^c$ estructura de la ampliación de una $spin^c$ estructura $\mathfrak{s}$ sobre el límite (que puede ser identificado con un $spin^c$ estructura $TM|_{\partial M}$) si y sólo si un determinado cohomology de la clase $W(M,\mathfrak{s})\in H^3(M,\partial M)$ se desvanece. En ese caso, el conjunto de $spin^c$ estructuras en $M$ extender $\mathfrak{s}$ $H^2(M,\partial)$- espacio afín.
Y me pareció difícil de modificar los argumentos que he explicado anteriormente para demostrar esta proposición, pero, naturalmente, es de esperar que una obstrucción teórico método puede ser fácilmente modificado (o eso espero?). Por lo tanto, una obstrucción de la teoría de las alternativas de la anterior o de una modificación de la anterior a la relativa caso son bienvenidos.
