¿Qué condiciones debe comprobarse que el $c$ es Cohen $V$.

Question

$\textbf{Hechler forcing} $

Deje $\mathbb{D}=\{(s,f): s \in \omega^{<\omega},f\in \omega^{\omega} \text{and} s \subseteq f\}$, ordenados por $(t,g)\leq (s,f)$ si $s \subseteq t$, $g$ domina $f$ en todas partes, y $f(i) \leq t(i)$ todos los $i \in |t|\setminus|s|$. De forma genérica, se añade un nuevo real $d=\bigcup\{s:(s,f)\in G$algunos $f \in \omega^{\omega}\}$.

Quiero mostrar que la $\mathcal{Hechler forcing}$ agrega un $\mathcal{Cohen}$ real.

Deje $d \in \omega^{\omega}$ ser un Hechler real sobre $V$. Definir $c \in 2^\omega$ $c(n)=d(n)$ mod $2$.

¿Qué condiciones debe comprobarse que el $c$ es Cohen $V$.

$\textbf{Eventually different forcing}$ $\mathbb{E}$ consta de pares $(s,F)$, , donde $s \in \omega^{<\omega}$ $F$ es un conjunto finito de reales con

$(s,F)\leq (t,G)$ fib $t \subseteq s$$G \subseteq F$$\forall{i \in \text{dom}(s\setminus t)}\forall{g \in G}(s(i)\neq g(i))$.De forma genérica, se añade un nuevo real $f_{G}=\bigcup\{s:(s,H)\in G\}$.

Quiero mostrar que Eventualmente diferentes obligando añade un $\mathcal{Cohen}$ real.

Si $f_{G} \in \omega^{\omega}$ es un genérico real, Definir $c \in 2^\omega$ $c(n)=1$ si $f_{G}$ o, incluso, la $c(n)=0$ si $f_{G}$ es impar

¿Qué condiciones debe comprobarse que el $c$ es Cohen $V$.

Cualquier sugerencia por favor.

Answer 1

Un real $c\in2^\omega$ es Cohen $V$ si y sólo si, para todos los $D\subseteq2^{<\omega}$ si $D$ es denso en $2^{<\omega}$ (lo que significa que todos los $s\in2^{<\omega}$ tiene una extensión en $D$) y $D\in V$, $D$ contiene un segmento inicial $c\upharpoonright n$$c$.