Interpolación con toda la función

Question

¿Hay alguna forma más sencilla de construir un entiere función de $f$ tal forma que : $$\forall p \in {\mathbb N} \quad f(2^p)=(-1)^p$$

Answer 1

Normalmente, se utiliza tanto la factorización de Weierstrass y Mittag-Leffler teorema a demostrar la existencia de una función completa $f$ tal que $f(z_n)=w_n$ por $z_n\to\infty$ e da $w_n$.

1. Obtener una función toda $g$ con un cero simple en cada una de las $z_n$ (por Weierstrass).
2. Obtener una función de meromorphic $h$ con parte de capital $w_n(g'(z_n)(z-z_n))^{-1}$ en cada una de las $z_n$ (por Mittag-Leffler)
3. Deje $f=gh$: esta es una función completa y $f(z_n)=w_n$.

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Pero si quieres evitar el pesado-deber de teoremas, vea el artículo Sobre la Función de Interpolación por I. M. Sheffer, Diario Americano de Matemáticas Vol. 49, Nº 3 (Jul., 1927), pp 329-342 que ofrece una más elementales de la prueba de la existencia de toda una función con valores prescritos en los enteros positivos.

Answer 2

Por Weierstrass productos, para cada entero $k$ podemos encontrar toda una función de $f_k$ tal que $f_k(2^j)=0$ si $k\neq j$$f_k(2^k)=(-1)^k2^k$. Definir $f:=\sum_{k=0}^{+\infty}2^{-k}f_k$. Usando la relación acerca de primaria de los factores, podemos ver que la convergencia de esta serie es uniforme sobre compactos de conjuntos. Por lo tanto, esta define una función que hace el trabajo.