Si $f$ = $f^{-1}$ a continuación, $f(x) = x$ algunos $x$

Question

Me gustaría saber si el siguiente es suficiente para demostrar la proposición siguiente. Mientras yo no le veo nada de malo en ello, me da una sensación extraña.

La proposición:

Si $f$ es una función continua en a$\mathbb{R}$$f = f^{-1}$, demostrar que hay al menos un $x$ tal que $f(x) = x$.

Prueba:

Si no existe tal $x$, entonces tendríamos $f(y) > y$ o $f(y) < y$ todos los $y \in \mathbb{R}$. Suponga que el anterior. En tal caso, se sigue que $$ f(f(y)) > f (y) > y $$ sin embargo, por definición tenemos $f = f^{-1}$, por lo que $$ f(f(y)) = y $$ Esto es una contradicción y prueba la afirmación.

Answer 1

Si $f(y) \neq y$ significa que, o $f(y)> y$ o $f(y)<y$. Pero la desigualdad podría depender de $y$. ¿Por qué supones que la misma desigualdad se cumple para todos los $y$?

Answer 2

El consenso es que la prueba es principalmente correcta. A mejorar, el teorema del valor intermedio debe ser mencionado explícitamente para eliminar cualquier ambigüedad en cuanto a por qué tenemos, para todos los $y$$\mathbb{R}$, $$f(y) > y \text{ or } f(y) < y$$

Usuario N. S. también señala que la prueba podría ser reducido a la declaración de

"Vamos a $g(x)=f(x)−x$. A continuación, $g(x)$ $g(f(x))$ tienen signos opuestos, de modo que IVT...."