Fórmula de reducción

Question

Si $\displaystyle I_{n}\equiv \int^{\pi/4}_{0} \tan^{n}\left(\,\theta\,\right)\,{\rm d}\theta$ demostrar que $\displaystyle I_{n} = {1 \over n - 1} - I_{n - 2}$

He intentado utilizar la integración por partes escribiendo primero $tan\theta$ como $tan\theta^{n-1} tan\theta$ y luego usé la fórmula por partes pero me di cuenta que no funcionaría como $ln$ entraba en juego.

Luego lo probé escribiendo $tan\theta$ como $tan\theta^{n-2}tan\theta^{2}$ y luego poner $sec\theta^2 -1$ en lugar de $tan\theta^2$ . He intentado simplificar el resultado, obteniendo $I_{n-2}$ en el proceso, pero no ha conseguido llegar al resultado dado.

Answer 1

Utilizando la sustitución $\theta=\arctan u$ tenemos: $$ I_n = \int_{0}^{1}\frac{u^n}{u^2+1}\,du = \int_{0}^{1}u^{n-2}\,du-\int_{0}^{1}\frac{u^{n-2}}{u^2+1}\,du = \frac{1}{n-1}-I_{n-2}.$$

Answer 2

No es una solución completa, pero es el principio de una.

Ya que lo que necesitas probar es $I_n + I_{n-2} = 1/(n-1)$ tiene sentido tratar de calcular $I_n + I_{n-2}$ . Tenemos

$$ I_n + I_{n-2} = \int_0^{\pi/4} \tan^{n-2}\theta(\tan^2 \theta + 1) \, d\theta = \int_0^{\pi/4} \tan^{n-2}\theta \sec^2 \theta \, d\theta. $$

Dado que usted tiene $\sec^2 \theta \, d\theta$ como factor, se puede evaluar la última integral mediante la sustitución $u = \tan \theta$ .

Answer 3

Parece que su enfoque fue correcto

$$\int_0^\frac\pi4\tan^n\theta d\theta=\int_0^\frac\pi4\tan^{n-2}\theta\sec^2\theta d\theta-\int_0^\frac\pi4\tan^{n-2}\theta d\theta=$$ $$\frac{\tan^{n-1}\theta}{n-1}|_0^\frac\pi4-I_{n-2}=\frac{1-0}{n-1}-I_{n-2}=\frac1{n-1}-I_{n-2}$$

Answer 4

$$ I_n =\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x dx =\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^{n-2} x (1+\tan^2 x) dx -I_{n-2} =\int_0^{1} u^{n-2} du -I_{n-2} =\frac{1}{n-1} -I_{n-2} $$ donde $u=\tan x.$