Condición necesaria para que un polinomio de varias variables complejas desaparezca en un punto

Question

Para un $1$ -polinomio variable $f(x)\in\Bbb C[x]$ es bien sabido que $$f(a)=0\iff f(x)=(x-a)g(x)$$ para algún polinomio $g(x)\in\Bbb C[x]$ .

Pregunta: ¿Se aplica este principio a los polinomios multivariables?

Es decir, si $f(x_1,\ldots,x_n)\in\Bbb C[x_1,\ldots,x_n]$ y $f(a_1,\ldots,a_n)=0$ para algunos $(a_1,\ldots,a_n)\in\Bbb C$ ¿se deduce que $$f(x_1,\ldots,x_n)=(x_1-a_1)\cdots(x_n-a_n)g(x_1,\ldots,x_n),$$ para algunos $g\in\Bbb C[x_1,\ldots,x_n]$ ?

Intento: Podemos arreglar $x_2,\ldots,x_n$ y considerar $f(x_1,\ldots,x_n)$ como $1$ -variable polinómica en $x_1$ que desaparece en $a_1$ y por lo tanto $f(x_1,\ldots,x_n)=(x_1-a_1)g(x_1)$ pero no estoy seguro de por qué $g(x_1)$ sería un polinomio en $x_2,\ldots,x_n$ .

Answer 1

Consideremos el polinomio $f(x_1, x_2) = x_1 + x_2$ . Aunque $f(0, 0) = 0$ , $f(x_1, x_2) \neq x_1x_2g(x_1, x_2)$ para cualquier polinomio $g$ .

Answer 2

Considere $$ f(x_1,x_2) = 1-x_1^2 + x_2^2 - 2x_2 $$ $f(\frac12,\frac12) = 0$ pero $f(x_1,x_2)$ tampoco tiene un factor de $(x_1-\frac12)$ ni $(x_2-\frac12)$

Answer 3

Como han demostrado Micheal Albanese y Mark Fischler, existen contraejemplos a su generalización provisional. Sin embargo, permítanme señalar que hay es una generalización natural del caso de una variable:

Si $f(x_1,\ldots,x_n)\in\Bbb C[x_1,\ldots,x_n]$ y $f(a_1,\ldots,a_n)=0$ para algunos $(a_1,\ldots,a_n)\in\Bbb C^n$ , $$f(x_1,\ldots,x_n)=(x_1-a_1)g_1(x_1,\ldots,x_n)+\cdots+(x_n-a_n)g_n(x_1,\ldots,x_n),$$ para algunos polinomios $g_i\in\Bbb C[x_1,\ldots,x_n]$ .

La prueba consiste en aplicar el algoritmo de división repetidamente para cada variable y luego evaluar en $(a_1,\ldots,a_n)$ para fijar la constante.