¿Cómo debo enseñar a un estudiante de la escuela secundaria acerca de las funciones inversas?

Question

Hoy he intentado enseñar a un estudiante de la escuela secundaria acerca de las funciones inversas. Le dio a este problema y define las partes que no entendía:

Vamos

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto x^2 + 1$

$g: [0, \infty) \to [1, \infty)$, $x \mapsto x^2 + 1$

$h: [0, \infty) \to (-\infty, \infty)$, $x \mapsto x^2 + 1$

$p: \{..., -5/2, -3/2, -1/2, 0, 1, 2, ... \} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto x^2 + 1$

$q: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto 3x + 2$

(a) ¿cuáles de estas funciones son uno-a-uno?

(b) ¿cuáles de estas funciones son a?

(c) ¿cuál de estas funciones inversas?

(d) ¿cuáles son los inversos? Sobre lo de los dominios son los inversos definido?

(e) Para las funciones que tienen inversos, de la evaluación de las inversas en $x = -1$.

Sin embargo, creo que encontré el problema demasiado difícil. Lo mejor sería que los problemas le doy? De manera más general, ¿qué podría haber hecho para que le ayudaran a entender mejor funciones inversas?

Gracias!

Answer 1

Cuando la introducción de las ideas de uno-a-uno y a mis alumnos, me gusta empezar con algunas imágenes simples para que puedan "ver" lo que está pasando. Por ejemplo,

Dibujar una bonita imagen de un a función (la que he dibujado no es uno-a-uno). A continuación, añadir un poco más puntos en el codominio y voila! No en más. Sacar un par de fotos para ilustrar uno-a-uno. Imagen inversa de las funciones de dibujar un uno-a-uno, en función de y, a continuación, "flip" todas las flechas y tienes la inversa.

Dibujar un montón de fotos para añadir y eliminar puntos para realizar funciones uno a uno y/o en o no.

A continuación, me gustaría jugar con el ejemplo: $f(x)=x^2$.

1) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ no es ni uno-a-uno o en.

Por qué? Mostrando algo falla al ser en es sencillo, simplemente encontrar algo en el codominio que no consigue "hit". Así, por ejemplo, $-1$ no está en el rango. Cuando tratamos de resolver la ecuación de $f(x)=x^2=-1$, la única solución que tenemos es $x = \pm \sqrt{-1}$ (que no estén en nuestro dominio). Así que nada mapas a $-1$. Por lo tanto no está en el rango no en.

2) a Continuación, pregunte, "¿Cómo podemos "arreglar" la función por lo que es en?"

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{\geq 0} = [0,\infty)$. Ahora la ecuación de $f(x)=x^2=y$ siempre puede ser resuelto: $x = \pm \sqrt{y}$ (que son reales desde $y \geq 0$.

Siguiente, tenga en cuenta que hay dos soluciones para cada uno (no-cero) $y$. Así que la función no es uno a uno.

3) ¿Cómo podemos "arreglar" $f$ nuevo, de modo que es uno-a-uno?

$f: [0,\infty) \to [0,\infty)$

Ahora $f(x)=f(y)$ $x^2=y^2$ implica que el $x=y$.

4) por Lo que, finalmente, $f: [0,\infty) \to [0,\infty)$ definido por $f(x)=x^2$ es bijective (uno-a-uno y en). ¿Cómo podemos encontrar una inversa? Volver a lo que N. S. sugiere: es todo acerca de la solución para "x" dada la ecuación de $y=x^2$. Resolvemos $x=\pm \sqrt{y}$ recordar que sólo estamos autorizados no negativo soluciones de $x=\sqrt{y}$. Por lo $f^{-1}:[0,\infty) \to [0,\infty)$ está definido por $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$.

Asegúrese de comprobar $f(f^{-1}(x))=(\sqrt{x})^2=x$ (a la inversa funciona en la derecha, debido a $f$ a) e $f^{-1}(f(x))=\sqrt{x^2}=x$ (a la inversa funciona en la izquierda porque el $f$ es uno-a-uno).

Espero que esto le da un par de ideas para ayudar a empezar. :)

Answer 2

El enfoque que me parece más intuitivo es a través de ecuaciones.

Pregúntele a él para resolver la ecuación de $x^2+1=y$$x$, y luego le pregunto si la respuesta que obtiene es una función...

Iniciar la construcción de por ahí:

Para que $y$ no esta ecuación tiene solución(s)? Cuando la solución es una función (es decir, la única)? Escribir la solución como una función en $y$... Que es el más grande de dominio? ¿Cuál es el rango?

¿Cuál es la conexión entre esta función, dominio , rango y la función original?