Es una de morfismos de $\mathcal O_X$-módulos completamente determinado por el homomorphisms inducida en los tallos?

Question

Deje $\mathcal F, \mathcal G$ ser gavillas de $\mathcal O_X$-módulos sobre un espacio anillado $(X,\mathcal O_X)$. Sé que todos los morfismos de $\mathcal O_X$-módulos de $\mathcal F\to \mathcal G$ induce un homomorphism de $\mathcal O_{X,x}$-módulos de $\mathcal F_x\to \mathcal G_x$ en cada tallo.

Es una de morfismos $\mathcal F\to\mathcal G$ totalmente determinado por estos inducida por homomorphisms $\mathcal F_x\to \mathcal G_x$? ¿Bajo qué circunstancias es esto cierto?

Answer 1

Esto siempre es cierto, para todos los morfismos de las poleas. La estructura del módulo es irrelevante, pero voy a seguir para utilizar su notación.

Deje $U \subseteq X$ ser un subconjunto abierto y $\phi: F \rightarrow G$ ser una de morfismos de gavillas de $\mathcal{O} _{X}$-módulos. Deje $s \in F(U)$ ser una sección. Observe que $\phi(s) \in G(U)$ está totalmente determinado por todos sus tallos por la gavilla de la propiedad, sino $\phi(s) _{x} = \phi _{x} (s _{x})$. Por lo $\phi$ está totalmente determinado por todos los de $\phi _{x}: F_{x} \rightarrow G_{x}$.