La solución de $z^4 + 2z^3 + 6z - 9 = 0$

Question

Estoy tratando de solucionar $z^4 + 2z^3 + 6z - 9 = 0$.

$z$ es un número complejo.

Normalmente me puede resolver estas ecuaciones cuando son de segundo grado.

No sé qué hacer, romper $z$ no ayuda...

EDIT: lo Siento, se me olvidó mencionar que $z$ tiene una solución en la que el $\Re(z) = 0$.

Answer 1

Sugerencia: ¿hay racional raíces? Si $z=\frac{n}{m}$ es una raíz racional en forma reducida, a continuación, $n$ debe ser un divisor de a $\pm 9$, e $m=1$.

Answer 2

El complejo número de $z = c$ es una solución para la ecuación de $f(z) = 0$ (también llamado un cero o raíz de la $f(z)$) si y sólo si $(z-c)$ es un factor de $f(z)$. La prueba de esta afirmación de la siguiente manera fácilmente mediante la adaptación del algoritmo de Euclides que se refiere a encontrar el máximo común divisor de los enteros para encontrar el máximo común divisor de funciones. Una prueba de esta afirmación sería bastante fácil que yo podría agregar al post si te gusta.

En cualquier caso, el uso de esta idea y tratar de encontrar una raíz de la ecuación $z^4 +2z^3 + 6z -9 = 0$. Encontrar una raíz, a continuación, da un factor, y reduce el grado del polinomio desea factor por $1$.

Ahora hay muchas maneras de encontrar los ceros de $f(z)$. En los casos más simples, usted puede simplemente adivinar y buscar soluciones. Los candidatos obvios para comprobar ceros se $z = 1, z = -1, z = 2, z= -2$, etc. Tenga en cuenta que $z = 0$ es un cero si y sólo si $f(z)$ no tiene término constante. Uno de los más útiles las pruebas para encontrar raíces de polinomios es la Raíz Racional de la Prueba. Otros métodos conocidos para encontrar los ceros de los polinomios de incluir completar el cuadrado (para funciones cuadráticas), utilizando el cúbicos fórmula, o el uso de la cuártica de la fórmula, a pesar de que la cúbica y cuártica fórmulas son un poco difíciles de manejar en la práctica.

Answer 3

La información dada es una solución de la forma $it$ $t$ real. A continuación, $-it$ es también una solución (ya que todos los coeficientes son reales). Conectar estas dos soluciones y el uso de un poco de álgebra usted debe ser capaz de resolver por $t$ y, por tanto, encontrar una ecuación cuadrática factor de $z^2 + t^2$.

Answer 4

Como se ha mencionado en los comentarios, $z=1$ es una de las raíces (compruebe siempre si 1 o -1 es una de las raíces, vale la pena). Así, para calcular los otros factores, se debe calcular: $$\frac{z^4+2z^3+6z-9}{z-1}$$

Que sería de $z^3+3z^2+3z+9$ por la división de polinomios. Ahora, es fácil factorizar $(z+3)$. $$z^2(z+3)+3(z+3)=(z+3)(z^2+3)$$

Para satisfacer la condición de $\Re(z) = 0$, usted debe encontrar los valores de $z$ en $z^2+3$ ($z=\pm i \sqrt3$).

Answer 5

Supongo que la highroad aquí es reconocer el factor de $z^2+3$:

$ (z^4-9) + (2z^3 + 6z) = (z^2+3)(z^2-3) + (z^2+3)(2z) = (z^2+3)(z^2+2z-3)$ $= (z+i\sqrt{3})(z-i\sqrt{3})(z-1)(z+3)$