Planes oficiales vs poder formal de la serie

Question

Tome $X = \mathbb{A}^1$$Y = \{0\}$. Quiero tomar el grupo formal esquema en $Y \subset X$. Este es un local rodeado de espacio, $(Y, \mathcal{S}_{ \hat{X}})$ where $\mathcal{S}_{\hat{X}}$ is the $(x)$-adic completion of $k[x]$, i.e. $k[[x]]$.

Esto podría ser vago, pero ¿por qué planes oficiales, es decir, ¿cuál es la diferencia entre este esquema formal y $Spec (k[[x]])$? Por ejemplo, es la categoría de coherente poleas (definido en cualquier espacio anillado) equivalente a los dos? Supongo que la subyacente topológica del espacio es diferente, pero ¿por qué preferir una sobre la otra?

Answer 1

He aquí una respuesta que es algo de lo que estoy buscando. En primer lugar, parece que no tienen equivalente en las categorías de coherente poleas, dada por el Lema 2.2 en la siguiente referencia.

Sin embargo, hay una diferencia en el functor de puntos, es decir, teniendo en cuenta $\hat{\mathbb{G}}_a(R)$ como límite, uno quiere $$\lim Hom(k[t]/t^i, R)$$ que es exactamente el conjunto de nilpotent elementos de $R$. En particular, $k[[t]]$ no tiene nilpotent elementos, pero $$Hom(k[[t]], k[[t]])$$ es no vacío.