Si V es un número finito de dimensiones de espacio vectorial, si $N(T) \cap R(T)$ = {0}, probar que V = $N(T)\oplus R(T)$

Question

Espero que esto no es un duplicado.

Vamos a V de un número finito de dimensiones de espacio vectorial y T : V $\to$ V es una transformación lineal. Deje que N(T) y R(T) denota el núcleo y el rango de T, respectivamente.

Entonces si $N(T) \cap R(T)$ = {0}, probar que V = $N(T)\oplus R(T)$.

Estoy frente a la dificultad de probar que, dado cualquier $v \epsilon V$ existe $a \epsilon N(T)$ $b \epsilon R(T)$ s.t. v se puede expresar como, $v = a + b$ . Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Si $N(T) \cap R(T) = \lbrace 0 \rbrace$, entonces se sigue que $T$ es un isomorfismo cuando se limitan a su alcance, y, en particular, $R(T^2) = R(T)$. Así, $$Tv \in R(T) \implies Tv \in R(T^2) \implies \exists w \in V : Tv = T^2w.$$ A continuación,$v - Tw \in N(T)$$Tw \in R(T)$, lo que nos da la descomposición. El hecho de que la suma es directa sigue simplemente a partir de ahí, utilizando de nuevo $N(T) \cap R(T) = \lbrace 0 \rbrace$.