Recientemente, me encoured un problema acerca de la serie infinita. Así que mi pregunta es ¿cómo saber si la serie infinita $\sum _{n=2}^{\infty } \frac{1}{n \log (n)}$ es convergente?
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DonAntonio
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Verificación de las condiciones de ajuste para la Prueba de Condensación :
$$a_n:=\frac1{n\log n}\implies 2^na_{2^n}=\frac{2^n}{2^n\log2^n}=\frac1{\log 2}\frac1n$$
y desde que la serie de la derecha de la secuencia es simplemente un múltiplo de la serie armónica y por lo tanto se aleja, también nuestra serie diverge.
A ver si $\sum_2^\infty 1/(n \log n)$ converge, podemos utilizar la integral de la prueba. Esta serie converge si, y sólo si esta integral: $$ \int_2^\infty \frac{1}{x \log x} dx = \left[\log(\log x)\right]_2^\infty $$ y en el hecho de que la integral diverge.
Esto es parte de una familia de ejemplos que vale la pena recordar. Tenga en cuenta que $$ d/dx \log(\log(\log x)) = d/dx \log(\log x) \cdot \frac{1}{\log (\log x)} = \frac{1}{x \log x \log(\log x)} $$ y $\log (\log (\log x)) \to \infty$ $x \to \infty$ por lo tanto $\sum \frac{1}{n \log n \log (\log n)}$ diverge así. Del mismo modo, por inducción podemos poner como muchos iterada $\log$s en el denominador como se quiera (es decir, $\sum \frac{1}{n \log n \log(\log n) \ldots \log (\ldots (\log n) \ldots )}$ cuando la $i$th registro se itera $i$ a veces), y seguirá siendo divergentes. Sin embargo, como usted debe comprobar, $\sum \frac{1}{x \log^2x}$ converge, y de hecho (de nuevo por inducción) si cualquier plaza de la iterada registros en $\sum \frac{1}{n \log n \log(\log n) \ldots \log (\ldots (\log n) \ldots )}$ la suma convergerán.
