Anidado soluciones de una ecuación cuadrática.

Question

Una ecuación cuadrática de la forma $x^2+bx+c=0$ puede ser resuelto con la fórmula clásica que le da todas las soluciones.

Aquí quiero hablar de algunos otros métodos para encontrar una solución. El más conocido es por medio de la continuación de la fracción. En este caso, a partir de la ecuación dada encontramos: $$x^2+bx+c=0 \Rightarrow x+b+\dfrac{c}{x}=0 \Rightarrow x=-b-\dfrac{c}{x} \Rightarrow x=-b+\cfrac {c}{-b+\cfrac {c}{-b+\ddots}}$$ Pero hay al menos otros dos métodos:

La solución para $x^2$ la ecuación dada encontramos $$x^2=-bx-c \Rightarrow x=\pm\sqrt{-c-bx} \Rightarrow x=\sqrt{-c\mp b\sqrt{-c\mp b\sqrt{-c\mp \dots}}}$$ que es una solución en forma de infinito anidada radicales.

Y la solución para $x$ nos encontramos con: $$x=\dfrac{1}{b}\left( -c-x^2 \right) \Rightarrow x=\dfrac{1}{b}\left(-c-\dfrac{1}{b}\left(-c-\dfrac{1}{b}\left(-c \cdots\right)^2\right)^2\right)$$ que es una solución en forma de infinito anidada plazas.

Estos métodos no se puede dar a todos las dos soluciones, pero sólo una aproximación de uno de estos. El método de la continuación de la fracción está bien estudiado y documentado en sus límites y potencialidades (aquí), pero para los otros métodos que he encontrado poco o nada en la Web.

He hecho algunas numérico experimento con una hoja de cálculo (ver la figura para $x^2-3x-4=0$), y parece que los métodos de obras (con un poco de cuidado para el anidado de los radicales donde tenemos que tener cuidado con los signos).

A partir de estos experimentos veo que el método de las radicales da la raíz que tiene el mayor valor absoluto ( como la continuación de la fracción), y el método de continuación plazas parece que da el menor valor absoluto de la solución, con una tasa de convergencia que no parece tan diferente de fracciones continuas. Estoy interesado en saber si podemos demostrar que esto es cierto siempre y si hay algunos resultados generales acerca de estos métodos.

Mi interés final es saber si tales métodos se puede extender a la solución de un mayor grado de ecuaciones.

Answer 1

Esta es una observación interesante. Primero, vamos a abordar el problema de la convergencia.

La convergencia de la anidados radical de la fórmula

Para el anidado radical de la fórmula, tenemos $$\begin{align} x_{n+1}^2 = -c -b \, x_{n}. \end{align}$$ Esto significa, en torno a la solución $x^*$, tenemos $$\begin{align} 2 \, x_{n+1} \, \Delta x_{n+1} \approx -b \, \Delta x_{n}, \end{align}$$ donde $\Delta x_n \equiv x_n - x^*$. En otras palabras, después de una ronda de iteración, el error se reduce por un factor de $$\left| \frac{b}{2\,x_{n+1}} \right| \aprox \left| \frac{b}{2\,x^*} \right|.$$ Esto significa que el anidada radical de la fórmula sólo funciona si $$|x^*| > \frac {b}{2}.$$

La convergencia de la anidados plaza de la fórmula

El anidado de la plaza de la fórmula es el opuesto, podemos igualmente mostrar, a partir de $$\begin{align} x_{n+1} = -\frac{c+x_{n}^2}{b}, \end{align}$$ que en torno a la solución $x^*$, $$\begin{align} \frac{ \Delta x_{n+1} } { \Delta x_n } \approx -\frac{ 2 \, x_n }{b} \approx -\frac{ 2 \, x^* }{b}, \end{align}$$ lo que significa que sólo funciona para $$|x^*| < \frac {b}{2}.$$

Comparación de la convergencia de las dos fórmulas

Esto explica la observación de que el anidada radical de la fórmula a menudo trabaja para el más grande de la raíz y el anidado plaza de la fórmula funciona para los más pequeños de la raíz. De hecho, el anidada radical de la fórmula funciona , al menos para una de las raíces, para $$\left| \frac{2 \, x^*}{b} \right| = \left| 1 \pm \sqrt{1 - \frac{4c}{b^2}} \right|.$$ Ahora con el signo de más, siempre tenemos $|x^*| > |b|/2$. Si $$-c > \frac 3 4 \, b^2,$$ funciona para las dos raíces. Por ejemplo, si $b=-1, c=-2$, con raíces $x_1 = 2$, e $x_2 = -1$, la misma plaza de la fórmula funciona para los dos raíces: $$\begin{align} 2 &= +\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots}}}, \\ -1 &= -\sqrt{2 - \sqrt{2 - \sqrt{2 - \cdots}}}, \end{align}$$

Por el contrario, significa que el anidado plaza de la fórmula funciona para en más de una raíz, si $$-c < \frac{3}{4} \, b^2,$$ que es, afortunadamente, en su caso, con $b = -3, c = -4$.

El anidado de la plaza de la fórmula es en realidad una variante de la logística mapa o un general cuadrática mapa, que es un modelo de estudio de caos. Así que tal vez no es la mejor fórmula para la convergencia.

La convergencia de la continuación de la fracción método

Para la continuación de la fracción de la fórmula, tenemos $$\begin{align} x_{n+1} = -b -\frac{c}{x_n}, \end{align}$$ y, en torno a la solución $x^*$, tenemos $$\begin{align} \Delta x_{n+1} \approx \frac{c}{ x_n^2} \, \Delta x_{n}, \end{align}$$ con la tasa de convergencia de ser $$\left| \frac{c}{x_{n}^2} \right| \aprox \left| 1 + \frac{b \, x^*}{c} \right|^{-1}.$$ Esto significa la continuación de la fracción fórmula sólo funciona si $$-\frac{c}{b \, x^*} < \frac{1}{2}.$$ o, de manera equivalente, con $1/x^* = (-b\pm\sqrt{b^2-4c})/(2c)$, tenemos $$1 \pm \sqrt{1 - \frac{4 \, c}{b^2} } < 1.$$ Así que no es precisamente uno de root (con el signo menos) que satisface esta condición.

La generalización de orden superior ecuaciones polinómicas

Este método es útil para resolver numéricamente de orden superior ecuaciones polinómicas, aunque no creo que es nuevo. Por ejemplo, para $$x^7 - 3 \, x + 1 = 0,$$ el anidado radical de fórmula $x = \sqrt[7]{3x-1}$ es definitivamente una manera conveniente de resolver. Pero por lo general, trabaja para el más grande de la raíz. Por ejemplo, para $$x^7 - 2 \, x^6 + 1 = 0$$ la fórmula $x = \sqrt[7]{2 \, x^6 - 1}$ no converge a la raíz de $x = 1$, debido a que existe una mayor root $x \approx 1.98358$. Y, por $$2 \, x^7 + 2 \, x^6 - 1 = 0$$ La fórmula $x = \sqrt[7]{\frac 1 2 -x^6}$ no converge en todo.

La mejora de la convergencia

Podemos mejorar la convergencia. Tomar el anidado radical de la fórmula, por ejemplo. Para un adecuado valor de $d$, tenemos $$x_{n+1} + \epsilon = \sqrt{-c + d^2 - (b - 2 \epsilon) \, x_n},$$ Esta fórmula es convergente si $|x^*| > |b/2 - \epsilon|$. Así que si podemos hacer $\epsilon$ cerca de $b/2$, el nido de radicales fórmula casi siempre convergentes. De hecho, si $\epsilon = b/2$, esto se convierte en la fórmula exacta, y no iteración es necesario.

Debemos mencionar que si una rápida convergencia es el objetivo, también por favor, considere la serie de aceleración de los métodos.