Un papel (es cierto que una física de papel) que he leído ha
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dt}{t} = \pm i \pi$$
"donde una trayectoria semicircular de radio infinitesimal $\epsilon$ pasa, ya sea hacia la izquierda o hacia la derecha alrededor de $t=0$, produciendo $+i\pi$ o $-i\pi$."
Cualquier simbólico de software de computación dice que la integral no converge. Alguien puede explicar esto?
De hecho, la integral no converge, y $\pm i \pi$ no es un valor posible para la integral de una verdadera función con valores en un intervalo de números reales, por lo que toman en el valor de cara de la declaración no hace sentido matemático. Sin embargo, los físicos tienen un hábito de hacer declaraciones que hacen matemático sentido sólo si usted no toma demasiado literalmente. En este caso lo que hace sentido matemático es que la ruta integral de la $$\int_C \dfrac{dz}{z} = \pm i \pi$$ donde $R > 0$ $C$ es un camino en el plano complejo que va desde $-R$ $R$cerca de la línea real pero evita el origen, ya sea pasando por encima o por debajo de ella.
La razón por la que usted consigue $\pm i\pi$ es explicado perfectamente en Robert Israel pregunta, pero me gustaría añadir algo más.
Básicamente, se reivindica la integral en cuestión es $$ \int_{-R}^{-\epsilon} \frac{1}{t}dt + \int_{\text{semicircle}} ... + \int_{\epsilon}^{R} \frac{1}{t}dt.$$
Por simetría, tenemos que $$ \int_{-R}^{-\epsilon} \frac{1}{t}dt + \int_{\epsilon}^{R} \frac{1}{t}dt = 0,$$ dejando sólo que el centro integral.
Sin embargo, esta simetría argumento se sostiene solamente si las dos integrales en cuestión son finitos, es decir,$R < \infty$$\epsilon > 0$, de lo contrario usted está haciendo la afirmación de que $-\infty + \infty = 0$.
La mayoría de los simbólica de software de computación, como usted la llama, sabemos muy bien que $-\infty + \infty$ es indefinido y, por tanto, correctamente que la integral no converge.
Para la física , sin embargo, puede darse el caso de que $R$ es simplemente "muy grande" y $\epsilon$ es "muy pequeño", y por lo tanto el resultado es (un poco?) justificados.
Como una alternativa a la interpretación de la integral como un camino a lo largo del eje real con un semi-circular de la deformación en torno al origen, podemos interpretar la integral de interés como
$$\begin{align} PV\int_{-\infty}^\infty \frac1t\,dt&\equiv \lim_{\epsilon\to 0^+}\lim_{L\to \infty}\int_{-L}^L \frac{1}{t\pm i\epsilon}\,dt\\\\ &=\lim_{\epsilon\to 0}\lim_{L\to \infty} \log\left(\frac{L\pm i\epsilon}{-L\pm i\epsilon}\right)\\\\ &=\mp i\pi \end{align}$$
donde la rama de corte para el complejo logaritmo no se cruzan en el camino en línea recta de$z=-L\pm i \epsilon$$z=L\pm i \epsilon$.
La integral $$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{x} = \lim_{M_1, M_2\+\infty} \lim_{\eta_1,\eta_2\to0^+} \left(\int_{-M_1}^{-\eta_1}\frac{dx}{x}+ \int_{\eta_2}^{M_2}\frac{dx}{x} \right) = \lim_{M_1, M_2\+\infty} \lim_{\eta_1,\eta_2\to0^+} \log\frac{M_2\eta_1}{\eta_2M_1} $$ tal y como está, obviamente, no converge porque ninguno de los de arriba (independiente) límites de dar una respuesta finita. Sin embargo, podemos elegir algunos medicamentos recetados para tratar con las singularidades en la integración de dominio, lo que nos permite asociar un valor finito.
Por ejemplo, podemos declarar que los límites anteriores son para ser tomadas en una forma simétrica: $\eta_1=\eta_2$, $M_1=M_2$. A continuación, el valor de la regularización de la integral es simplemente $\log 1 =0$.
Otra posibilidad es la siguiente. En primer lugar, nosotros nos encargamos de la singularidad en $x=0$ pasando a su alrededor con una pequeña hacia la izquierda (sentido horario) semi-circular de la deformación del eje real, tal como lo sugiere su referencia; esto equivale a mover la singularidad ligeramente por encima (por debajo) el eje real en sí mismo, es decir, a la sustitución de la $f(x)=1/x$ con $$ f_\epsilon(x)=\frac{1}{x\mp i\epsilon}\,, $$ para los positivos $\epsilon$. Entonces, la teoría de las distribuciones viene en nuestra ayuda con la siguiente identidad (ver más abajo): \begin{equation} \lim_{\epsilon\to 0^+}f_\epsilon(x)= \mathrm{PV} \frac{1}{x}\pm i\pi\delta(x)\,, \end{equation} donde PV es el valor principal de Cauchy. Esto significa que, siempre que integramos $f_\epsilon(x)\varphi(x)$ donde $\varphi(x)$ es un suave función de "prueba", que decae suficientemente rápido en el infinito, $$ \lim_{\epsilon\to0^+} \int_{-\infty}^{+\infty}f_\epsilon(x) \varphi(x)dx= \lim_{\eta\to0^+}\left(\int_{-\infty}^{-\eta}\frac{\varphi(x)}{x} dx + \int_{\eta}^{+\infty} \frac{\varphi(x)}{x} dx \right)\pm i\pi \varphi(0) \\ =\lim_{\eta\to 0^+} \int_{\eta}^{+\infty} \frac{\varphi(x)-\varphi(-x)}{x}dx\pm i \pi \varphi(0)\,, $$ (nota de la simetría del límite de $\eta\to0^+$ en la integración de los límites). Ahora, vamos a elegir como $\varphi$ una función suave $0\le\varphi(x)\le1$ definido por $$ \varphi_M(x)= \begin{cases} 1 & \text{if } |x|<M\\ 0 & \text{if } |x|>M+1\,. \end{casos} $$ Entonces, la integral en el lado derecho de la ecuación anterior se desvanece por la simetría de $\varphi_M(x)$ y por lo tanto $$ \lim_{\epsilon\to 0^+}\int_{-\infty}^{+\infty} f_\epsilon(x) \varphi_M(x) dx = \pm i \pi\,. $$ Desde que tenemos a un resultado que no depende de la $M$, podemos envió $M\to+\infty$ y, finalmente, recuperar la regularización de la versión de la partida integral $$ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x} \desbordado{\text{reg}}{=}\lim_{M\+\infty} \lim_{\epsilon\to 0^+}\int_{-\infty}^{+\infty} f_\epsilon(x) \varphi_M(x) dx = \pm i\pi\,. $$ [Lo anterior la distribución de la identidad que brevemente se justifica por los siguientes pasos: elección de la rama de corte del logaritmo a lo largo del eje real negativo, como $\epsilon\to0^+$ $$ \frac{1}{x\mp i\epsilon}= \frac{d}{dx}\log(x\mp i \epsilon) = \frac{d}{dx}\left( \log|x| + i \mathrm{arg}(x\mp i \epsilon) \right) \\ = \frac{d}{dx}\left( \log|x| \mp i \arctan(\epsilon/x) \right) = \mathrm{PV} \frac{1}{x} \pm i\pi\delta(x) \,.] $$
En adición a la otra buena información de las respuestas anteriores: esta aparente paradoja es una cosa que había intermitentemente me perturbó por un largo tiempo. E. g., ¿cómo podría un valor real integral (convergente o no) producen un valor complejo? WTF? De hecho!
Ok, sí, como en otros comentarios y respuestas, una manera de hacer sentido de que no convergentes integral es como un "principal valor integral", que, NB, ya no es un literal integral a todos. Y, aún entonces, el PV de la resolución de la divergencia en $0$ no muy lidiar con la divergencia en $\pm\infty$.
Sin necesariamente tratando de resolver los problema, hay una sorta-bien-resultado conocido acerca de la discrepancia entre un complejo de análisis límite de presentación y el principal valor de la presentación: debido a Sokhotski-Plemelj: $$ \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{-\infty}^\infty {f(x)\over x+\varepsilon i}\;dx \;=\; -\pi i \,f(0) +PV\int_{-\infty}^\infty {f(x)\sobre x}\;dx $$ Este es el tipo de cosa que, una vez dijo, no es difícil de verificar.
En particular, la aparente operativa de los físicos en la interpretación de la integral es el lado izquierdo de este último, en lugar de ser el principal valor de la interpretación.
Bueno, ok, que potencialmente es consistente, también. Depende de lo que queremos. Estos símbolos no interpretar o contexto-fijado. :)
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