El doble de $L^\infty$ para medidas de Borel y $L^\infty$ funciones de fuga en el infinito

Question

Se sabe que el doble de $L^\infty (X, m)$ es el espacio del complejo, finito, finitely aditivo medidas en $X$ que son absolutamente continua con respecto a $m$.

Me gustaría saber si uno puede conseguir mejores propiedades de las medidas en el doble si $X$ es un espacio topológico y $m$ es de Borel regular, $\sigma$-finito. Lo que es más importante, me gustaría saber si estas medidas se convierten countably-aditivo.

Si $\omega \in L^\infty (X, m) ^*$ entonces no existe $\mu$, un complejo, finito, finitely aditivo medida en $X$ que son absolutamente continua con respecto a $m$, de tal manera que $\omega (f) = \int _X f \ \Bbb d \mu$.

Desde el espacio de $C_0 (X)$ de funciones continuas que se desvanecen en el infinito incorpora continuamente en $L^\infty (X, m)$, se deduce que el $\omega$ restringe a un continuo lineal funcional en $C_0 (X)$, y puede ser, por tanto, representado por algunos finito, regular de medida $\nu$. Una consecuencia de esto es que el $\int _X f \ \Bbb d \mu = \int _X f \ \Bbb d \nu \quad \forall f \in C_0 (X)$. ¿Esto nos permite concluir que $\mu$ es countably aditivo?

(Francamente, yo diría que no, de lo contrario se podría utilizar la misma técnica para demostrar que si $X$ es normal, a continuación, las medidas que forman el doble de $C_b (X)$, que a priori son sólo finitely aditivo, debe ser countably aditivo. Sin embargo, todavía estoy esperando que $L^\infty (X, m)$ presenta algunas buenas propiedades de las propiedades topológicas de $m$.)

Alternativamente, se podría definir un $L^\infty$ espacio de funciones de fuga en el infinito, llamalo $L_0 ^\infty$, y la esperanza de que su doble ser algunas mezcla feliz de los espacios de $L^\infty (X, m)$$rca(X)$?

Answer 1

Incluso si tenemos un buen topológico medir el espacio, no hay manera para nosotros de esperar la "regularidad" de la medida de la Riesz-teorema de Representación. Cualquier posible niza propiedades de la resultante de medir vendrá del comportamiento de la lineal funcional en cuestión. Intuitivamente, creo que de las medidas que no countably aditivo como la que proviene de funcionales lineales que no surgen como la restricción de un funcional de $L^1$ (no exactamente seguro de cómo corregir este intuición es, sin embargo).

Aquí un ejemplo en el que deben trabajar. Deje $X=[0,1]$ dotado de la Borel $\sigma$-álgebra, $\mathfrak{M}=\mathcal{B}([0,1])$, y la medida de Lebesgue, $\mu$. Claramente, $X$ es un espacio topológico y $\mu$ es un Borel regular $\sigma$-finito medida.

A continuación, consideremos el subespacio de $L^\infty$, que se denota por a $S$, que consta de clases de equivalencia $[f]$ que no es mensurable representante con el límite existente como $x\to 0$. Definir el lineal funcional $L:S\to\mathbb{R}$ a través de $$L([f])=\lim_{x\to 0}\tilde{f}(x),$$ where $\tilde{f}$ is the associated representative. Now we show that $L$ is well defined, suppose that $\tilde{f}=\tilde{g}$ for $\mu$-a.e. $x\in X$, and that both $f_0:=\lim_{x\to 0}\tilde{f}(x)$ and $g_0:=\lim_{x\to 0}\tilde{g}(x)$ exist. Let $E:=\{x\in X~:~\tilde{f}(x)\neq\tilde{g}(x)\}$, which satisfies $\mu(E)=0$. Now fix $\varepsilon > 0$ and find $\delta > 0$ such that $|x|<\delta$ implies $|\tilde{f}(x)-f_0|<\varepsilon/2$ and $|\tilde{g}(x)-g_0|<\varepsilon/2$. Since $E$ contains no intervals, we see that there exists some point $x_0\en X$ with $|x_0|<\delta$ with $\tilde{f}(x_0)=\tilde{g}(x_0)$. So we deduce $$|f_0 - g_0|=|f_0-\tilde{f}(x_0)+\tilde{g}(x_0)-g_0|\leq|f_0-\tilde{f}(x_0)|+|g_0-\tilde{g}(x_0)|<\varepsilon.$$ Now by taking $\varepsilon\a 0$ we see that $f_0=g_0$, and so $L$ is well-defined. Similarly, we can show that $|L([f])|\leq\|[f]\|_{L^\infty}$.

Ahora uso el de Hahn-Banach teorema de extender $L$ a un funcional lineal $\Lambda\in(L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu))^*$. Deje $\lambda$ ser la medida de Riesz-Representación teorema de representación de $\Lambda$, es decir, $$\Lambda(f)=\int_{[0,1]}f~d\lambda,\qquad f\in L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu).$$ Ahora tenemos que $\lambda((0,1/n))=1$ todos los $n\in\mathbb{N}$ (esto se deduce de cómo definimos la medida de $\lambda$ en la prueba del teorema de representación como $\lambda(E)=\Lambda(\chi_E)$, así como la singularidad). Ahora obtenemos una contradicción si $\lambda$ fueron countably aditivo: si es así, entonces tendríamos $\lambda(\emptyset)=1$, lo que claramente no tiene sentido.

Para ampliar un poco sobre el por qué de tu comentario sobre la incorporación de la $C_0(X)$ a $L^\infty$ no implica que la medida es countably aditivo, se puede utilizar el mismo ejemplo anterior. En primer lugar, se podría pensar que la medida anterior es una delta de Dirac en $0$, pero en realidad, tenemos que $\lambda(\{0\})=0$, pero $\lambda((0,1])=1$. Por otro lado, si nos restringimos $L$ $C_0(X)=C(X)$obtenemos un funcional lineal $L:C(X)\to\mathbb{R}$$L(f)=f(0)$. Como resultado de ello, podemos deducir que el resultado de la medida de la Riesz-teorema de Representación de $C(X)$ será la delta de Dirac medida en cero, $\nu =\delta_0$. Así, vemos que el dominio de la lineal funcional hace una diferencia muy grande en la medida que lo va a representar.

Con respecto a su última pregunta sobre el doble de $L^\infty_0(X,\mathfrak{M},\mu)$, no estoy muy seguro de lo que el espacio dual sería como ahora.