Cómo encontrar una matriz de transformación, dadas las coordenadas de los dos triángulos en $R^2$

Question

Soy un estudiante de licenciatura, y hoy me ha dado dos triángulos, $T_1$ (verde) y $T_2$ (azul) en $R^2$:

Me pidieron entonces para encontrar la matriz de transformación la transformación de $T_1$$T_2$. Lo que entiendo de esto es, que necesito encontrar a $F$ en el cuadro siguiente ecuación:

$T_2 = F \cdot T_1$.

donde

$T_1= \begin{bmatrix}2&6&8\\2&-2&6\end{bmatrix}$

$T_2= \begin{bmatrix}-2&-10&-14\\-2&-4&10\end{bmatrix}$

cuales son las coordenadas de los ángulos de los triángulos.

La anterior ecuación de matriz sin embargo, es inconsistente, entonces, ¿cómo puedo encontrar a $F$?

Tiene que ser un mapeo lineal, no afín.

Han probado un montón, cualquier ayuda muy apreciada!

Answer 1

Los vértices de $T_1$ $(2,2)$, $(6,-2)$, y $(8,6)$. Los vértices de $T_2$ $(-2,-2)$, $(-10,-4)$, y $(-14,10)$. Queremos una transformación de asignación de $T_1$$T_2$. De modo que los vértices de $T_1$ se debe asignar a los vértices de $T_2$. Vamos factor a cabo el 2 a salvarnos de algún apuro. Buscamos una transformación lineal $L:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ con $$\{(1,1), (3,-1), (4,3)\} \mapsto \{(-1,-1), (-5,-2), (-7,5)\} $$ El mapa de $L$ está determinado por su acción sobre los dos vectores linealmente independientes $(1,1)$$(4,3)$. Se debe asignar a dos de los vectores en $\{(-1,-1), (-5,-2), (-7,5)\}$. Mediante este podemos fácilmente calcular una matriz.

Por ejemplo, la matriz de asignación de $(1,1) \mapsto (-1,-1)$ $(4,3) \mapsto (-5,-2)$ es $$ \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}. $$ Esta matriz también sucede a la mapa $(3,-1)$ a los restantes vectores $(-7,5)$, por lo que se hacen. Hemos tenido suerte esta vez; si esto no hubiera asignado a la derecha del vector se podría haber guardado la elección de los diferentes pares de vectores hasta encontrar la correcta mapa.

Answer 2

Otra manera de obtener la respuesta, es notar que puede asignar $T_1$$T_2$, reflejando $T_1$ en el origen y, a continuación, escalando el resultado por 3, con respecto a la diagonal $x=y$. Reflejando en el origen es simplemente $(x,y)\mapsto (-x,-y)$ y la escala está dada por $(x,y)\mapsto(x+(x-y),y-(x-y))$.

Por cierto, la fórmula para la escala de $(x,y)$ $\gamma$ con respecto a una línea definida por $ax+by+d=0$ es

$$x\mapsto x+(\gamma-1)\frac{a(ax+by+d)}{(a^2+b^2)}\quad \text{y}\quad y\mapsto y+(\gamma-1)\frac{b(ax+by+d)}{(a^2+b^2)}.$$

Si $(x,y)$ es a la distancia a la $r$ desde la línea, a continuación, después de que se escala por $\gamma$ será a la distancia a la $\gamma r$ desde la línea.

Answer 3

$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert #1 \right\vert}% \newcommand{\yy}{\Longleftrightarrow}$

Sólo necesitamos un simétrica $3 \times 3$ real de la matriz $F$ donde $F$ satisfacer $F{\bf P}_{i} = {\bf P}_{i}'$. $i = 1, 2, 3$. ${\bf P}_{i}$ y ${\bf P}_{i}'$ son el triángulo de vértices "antes de" ( uno de ellos ) y "después de" ( el otro ) la transformación generada por la matriz $F$. Con los vectores $$ {\bf 1} \equiv \pars{\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0\end{array}}\,, \qquad {\bf 2} \equiv \pars{\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 0\end{array}}\,, \qquad {\bf 3} \equiv \pars{\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 1\end{array}} $$ El $F$ elementos de la matriz de $F_{ij} \equiv {\bf i}^{\sf T}F\,{\bf j}$ se $$ \color{#0000ff}{\large F_{ij}} = {\bf i}^{\sf T}F\sum_{\ell = 1, 2, 3}{\bf P}_{\ell}{\bf P}_{\ell}^{\sf T}\,{\bf j} = \color{#0000ff}{\large{\bf i}^{\sf T}\,\pars{\sum_{\ell = 1, 2, 3} {\bf P}_{\ell}'{\bf P}_{\ell}^{\sf T}}\,\,{\bf j}} $$

Observe que esta es la ${\large\tt 3D}$ resultado pero la idea puede ser directo de 'traducir' a ${\large\tt 2D}$.