Conectado subespacios

Question

Supongo que hay algo mal con mis pensamientos acerca de la conexión visto en un subespacio de un espacio topológico y necesito tu ayuda. Me explico:

Estas son las definiciones que me han dado:

Un espacio topológico $X$ se dice que se desconecta si no son disjuntos no vacíos abrir conjuntos de $U, V\subset X$ tal que $X=U\cup V$. Un subespacio $Y$ $X$ se desconecta si se desconecta considerado como un espacio dotado de la topología relativa a $Y$.

Pero me acaba de venir a través de este ejercicio en Willard de la Topología General que dice:

Entre los criterios para un subespacio $E$ $X$ a ser conectado, el estaba ausente: $E\subset X$ se desconecta el fib no son disjuntas abrir conjuntos de $H$$K$$X$, en cada reunión se $E$, de tal manera que $E\subset H\cup K$. Encontrar un contraejemplo.

Esto realmente me confunde y no he encontrado ningún contraejemplo todavía. Si tuviéramos estos conjuntos de $H$$K$, entonces podríamos considerar $E_H=E\cap H$$E_K=E\cap K$, y ha $E=E_H\cup E_K$. Por lo tanto, $E$ está desconectado porque podemos expresar como la unión de un par de disjuntos no vacíos abrir establece relativa a la topología de subespacio.

Yo no puedo ver lo que está equivocado acerca de eso, pero debe haber un error en alguna parte.

Answer 1

Tenga en cuenta que "iff" significa implicaciones de ambas maneras. Desmintiendo un iff declaración sólo se requiere demostrar que una de las consecuencias no siempre se cumple. Usted ha indicado por qué esa condición no implica la desconexión. Así que la pregunta es, ¿podemos encontrar una desconectado subespacio de un espacio topológico que no satisface esa condición?

Sugiero que piense acerca de la cofinite topología sobre un conjunto infinito.

Answer 2

Otro ejemplo: Consideremos el conjunto {a,b,c} con topología de {a,b,c},{},{a,b}{b,c},{b}. Entonces el subespacio {a,c} es distinto, debido a que {un} y {c} son abiertos establece en este subespacio. Sin embargo, en el espacio original, cada conjunto abierto que contiene a y cada conjunto abierto que contiene a c, necesariamente, contener b, por lo que no puede ser distinto.