Supongo que hay algo mal con mis pensamientos acerca de la conexión visto en un subespacio de un espacio topológico y necesito tu ayuda. Me explico:
Estas son las definiciones que me han dado:
Un espacio topológico $X$ se dice que se desconecta si no son disjuntos no vacíos abrir conjuntos de $U, V\subset X$ tal que $X=U\cup V$. Un subespacio $Y$ $X$ se desconecta si se desconecta considerado como un espacio dotado de la topología relativa a $Y$.
Pero me acaba de venir a través de este ejercicio en Willard de la Topología General que dice:
Entre los criterios para un subespacio $E$ $X$ a ser conectado, el estaba ausente: $E\subset X$ se desconecta el fib no son disjuntas abrir conjuntos de $H$$K$$X$, en cada reunión se $E$, de tal manera que $E\subset H\cup K$. Encontrar un contraejemplo.
Esto realmente me confunde y no he encontrado ningún contraejemplo todavía. Si tuviéramos estos conjuntos de $H$$K$, entonces podríamos considerar $E_H=E\cap H$$E_K=E\cap K$, y ha $E=E_H\cup E_K$. Por lo tanto, $E$ está desconectado porque podemos expresar como la unión de un par de disjuntos no vacíos abrir establece relativa a la topología de subespacio.
Yo no puedo ver lo que está equivocado acerca de eso, pero debe haber un error en alguna parte.
