Trivial pregunta acerca de la división de campos

Question

Estoy teniendo problemas con la super básico del anillo de conceptos teóricos. Dado que algunos irreductible $f$$k[x]$, denotan por $p$ la proyección para el cociente $F$ por el ideal generado por a $f$. Yo estoy luchando para entender por qué la $p(x)$ ahora es una raíz de $f$. La página de la wiki dice $f(p(x))=p(f(x)) =0$, pero no entiendo la izquierda de la igualdad. ¿Qué está pasando?

Answer 1

Es tan sencillo como parece. Primero tenemos $p(0)=0$. Considere la posibilidad de $\alpha\in k,\, \alpha\neq 0$. Es un polinomio de grado $0$. Realizar el Euclidiana de la división de $\alpha$ $f$ conseguir $\alpha=0\cdot f+\alpha$. Esto significa $\forall \alpha\in k,\,p(\alpha)=\alpha$ y por lo tanto

$$\begin{align}p(f(x))&=p(\sum_0^n\alpha_i x^i)\\&=\sum_0^np(\alpha_i)p(x)^i\\&=\sum_0^n\alpha_ip(x)^i\\&=f(p(x))\end{align}$$

Answer 2

Yo también tuve un montón de problemas con esto cuando vi por primera vez. Aquí está la explicación de que tenía sentido para mí, con todos los detalles por escrito.

Si $k$ es un campo, y $p(X)$ es un polinomio irreducible en el ring $k[X]$, entonces el ideal $\mathfrak p$ generado por $p(X)$ es un ideal maximal (porque, por ejemplo, $k[X]$ es un director ideal de dominio). Por lo tanto el cociente del anillo de $F = k[X]/\mathfrak p$ es un campo.

Este campo contiene $k$. Bueno, en realidad no. Pero, la asignación de $a \mapsto a + \mathfrak p$ da un inyectiva anillo homomorphism $k \rightarrow F$, y por lo que podemos considerar la $k$ como un subcampo de la $F$, mediante la identificación de cualquier $a \in k$ con el coset $a + \mathfrak p \in F$). Pero para ser más precisos, diremos que tenemos una inyectiva anillo homomorphism $\phi: k \rightarrow F$$\phi(a) = a + \mathfrak p$.

Los campos $k, F$ son, respectivamente, los subconjuntos del polinomio anillos de $k[Y], F[Y]$. Ya tenemos una inclusión natural de $k$ dentro $F$, también tenemos una inclusión natural de la polinomio anillo de $k[Y]$ dentro del polinomio $F[Y]$ (estoy usando una letra diferente para denotar un polinomio anillo de aquí, porque $F$ sí está definido en términos de los polinomios en la indeterminada $X$). Es decir, la inyectiva homomorphism $\phi: k \rightarrow F$ se extiende a un inyectiva homomorphism (vamos a llamar también $\phi$) $k[Y] \rightarrow F[Y]$, dada por $$\phi(a_0 + a_1Y + \cdots + a_nY^n) = \phi(a_0) + \phi(a_1)Y + \cdots + \phi(a_n)Y^n$$ $$ = (a_0 + \mathfrak p) + (a_1 + \mathfrak p)Y + \cdots + (a_n + \mathfrak p)Y^n$$ The image of this homomorphism is clearly $\phi(k)[Y]$, i.e. polynomials with coefficients in $\phi(k)$. So basically, you can regard any polynomial with coefficients in $k$, as a polynomial with coefficients in $F$, in a natural way. So now your polynomial $p(Y) \en k[Y]$ gives a polynomial $\phi(p(Y)) \in \phi(k)[Y] \subseteq F[Y]$.

Y el argumento es que $\phi(p(Y))$ (un polinomio con coeficientes en $\phi(k)$) tiene una raíz en $F$. Esa raíz es la coset $X + \mathfrak p \in F$. Escribir $p(Y) = c_0 + c_1Y + \cdots + c_nY^n$$c_i \in k$, por lo que $$\phi(p(Y)) = (c_0 + \mathfrak p) + (c_1 + \mathfrak p)Y + \cdots + (c_n + \mathfrak p)Y^n$$ If you evaluate this polynomial at $X + \mathfrak p$, then from the fact that $fg + \mathfrak p = (f+ \mathfrak p)(g + \mathfrak p)$ and $(f+ \mathfrak p) + (g+ \mathfrak p) = (f + g) + \mathfrak p$ for any $f, g \en k[X]$, you get $$ (c_0 + \mathfrak p) + (c_1 + \mathfrak p)(X + \mathfrak p) + \cdots + (c_n + \mathfrak p)(X + \mathfrak p)^n $$ $$ = (c_0 + c_1X + \cdots + c_nX^n) + \mathfrak p = p(X) + \mathfrak p = 0 + \mathfrak p$$ because $p(X) \in \mathfrak p$.

En los libros de texto y en casi todas partes, no van a decir que "el reclamo es que el $\phi(p(Y))$ tiene una raíz en $F$." En su lugar, van a decir que "el reclamo es que el $p(Y)$ tiene una raíz en $F$," porque no se va a molestar distinguir $k$ de su isomorfo copia de $\phi(k)$. Y en la misma forma en la que van a pensar de $k[X]$ como un sub-anillo de $F[X]$, incluso a pesar de que no es realmente. Estas identificaciones son naturales y no llevan a ninguna contradicción. Si usted se siente cómodo con ellos, la prueba se hace mucho más corto.

Answer 3

Supongamos $f(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n \in F[x]$ campo $F$.

Si $u = x + \langle f(x)\rangle$ (el coset de $x$$F[x]/\langle f(x)\rangle$), entonces:

$f(u) = a_0 + a_1(x + \langle f(x)\rangle) + \cdots + a_n(x + \langle f(x)\rangle)^n$

...ahora, una pregunta natural es ¿cómo podemos multiplicar un elemento de $F[x]/\langle f(x)\rangle$ por un elemento de a $F$?

Lo que debemos hacer es definir para $c \in F$: $c(g(x) + \langle f(x)\rangle) = (c\cdot g(x)) + \langle f(x) \rangle$.

Este "sentido" porque la imagen $p(F)$ $F$ bajo $p$ envía $c \mapsto c + \langle f(x)\rangle$ (el último, ve a "$c$" como una CONSTANTE polinomio) es un isomorfismo de $F$$p(F)$.

Por lo $f(u) = (a_0 + \langle f(x)\rangle) + (a_1 + \langle f(x)\rangle)(x + \langle f(x)\rangle) + \cdots + (a_n + \langle f(x)\rangle)^n$.

Recordemos que en un anillo cociente $R/I$,$(a+ I)(b + I) = ab + I$, por lo que la anterior se convierte en:

$f(u) = (a_0 + \langle f(x)\rangle) + (a_x + \langle f(x)\rangle) +\cdots + (a_nx^n + \langle f(x)\rangle)$

Y en un cociente del anillo de $R/I$,$(a + I) + (b + I) = (a+b) + I$,

por lo tanto tenemos:

$f(u) = (a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n) + \langle f(x)\rangle = f(x) + \langle f(x)\rangle$

Pero $f(x) + \langle f(x)\rangle = 0 + \langle f(x) \rangle = 0_{F[x]/\langle f(x)\rangle}$, ya que el $f(x) = f(x) - 0 \in \langle f(x)\rangle$.

Por lo tanto $p(f(x)) = f(x) + \langle f(x)\rangle = 0_{F[x]/\langle f(x)\rangle} = f(u) = f(p(x))$.

Answer 4

$p(x)$ es confuso notación, porque parece que lo va a aplicar un polinomio de a $x$. Voy a utilizar $\underline{a}$ en lugar de la imagen de la $a \in k[x]$$k[x]/f(x)$. Además, no entiendo por qué todo el mundo está trabajando muy duro. Escribir $f(x) = \sum f_n x^n$. El punto clave es que el $a \mapsto \underline{a}$ $k$- álgebra homomorphism, y esto es cierto, más o menos, por definición, de la $k$-álgebra estructura en $k[x]/f(x)$. Ahora lo que sigue es que

$$\underline{f(x)} = \underline{\sum f_n x^n} = \sum f_n \underline{x}^n = f(\underline{x})$$

pero dado que, por definición, $\underline{f(x)} = 0$ llegamos a la conclusión de que $f(\underline{x}) = 0$.