Prueba para la convergencia de la serie de $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{(n+1)/n}}$

Question

Prueba para la convergencia de la serie $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{(n+1)/n}}$$ Me gustaría hacer una colección con soluciones para esta serie, y cualquier nuevo
la solución será recompensado con upvotes. Aquí es lo que tengo en este momento

Método 1

Sabemos que para todos los enteros positivos $n$, $n<2^n$, y esto produce $$n^{(1/n)}<2$$ $$n^{(1+1/n)}<2n$$ Entonces, resulta que $$\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \rightarrow \infty \le\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{(n+1)/n}}$$ Por lo tanto $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{(n+1)/n}}\rightarrow \infty$$ EDITAR:

Método 2

Si tenemos en cuenta el máximo de $f(x)=x^{(1/x)}$ alcanzado por $x=e$
y se denota por a $c$, luego $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{c \cdot n} \rightarrow \infty \le\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{(n+1)/n}}$$

Gracias!

Answer 1

Con un equivalente: $$ \frac{1}{n^{(n+1)/n}} = \exp\left(-\left(1+\frac{1}{n}\right)\ln n\right) = e^{-\ln n+o(1)} \sim \frac{1}{n}. $$

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Con una desigualdad (el uso de $\ln(1+x) \leq x$): $$ \dfrac{n}{n^{(n+1)/n}} = \exp\left(-\frac{\ln n}{n}\right) \geq \exp\left(-\frac{n-1}{n}\right) = \exp\left(\frac{1}{n}-1\right) \geq e^{-1}. $$ Por lo tanto, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^{(n+1)/n}} \geq \dfrac{1}{e} \sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n} = +\infty.$$

Answer 2

Método 1: Límite de comparación con $\frac{1}{n}$

Método 2: $$\frac{1}{n^{1+1/n}}\leq\frac{1}{(n+1)^{1+\frac{1}{n+1}}}$$ Ahora el uso de Cauchy prueba de condensación, para conseguir que syor suma converge iff la siguiente suma converge: $$\sum_{n\in Z^+}2^n\frac{1}{(2^n)^{1+2^{-n}}}=\sum_{n\in Z^+}\frac{1}{2^{n2^{-n}}}$$

Desde $n<2^n$, por lo $n2^{-n}<1$. Por lo tanto, $\frac{1}{2}<\frac{1}{2^{n2^{-n}}}$

Answer 3

Deje $a_n = 1/n^{(n+1)/n}$. Entonces $$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}} &\sim& 1+\frac{1}{n} - \frac{\log n}{n^2} \qquad (n\to\infty). \end{eqnarray*}$$ La serie diverge por Bertrand de la prueba.