Solución General de una ecuación diferencial

Question

¿cuál es la solución general de este diff. la ecuación de $$x^2y''-4xy'+6y=x$$

Trató de llamar a $y=xv$ pero no funcionó. ( $x^2v''-2xv'+v=1$ ) ¿qué puedo hacer otra cosa?

Answer 1

Sugerencia: Puede utilizar la sustitución $$ x=e^t. $$ Usted tiene $$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{dy}{dt}e^{-t}. $$ En el mismo espíritu, usted debe encontrar $$ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\ldots $$ Después de esta sustitución se obtendrá una ecuación lineal con coeficientes constantes.

Answer 2

Sugerencia: no hay una solución de la forma $y=ax$.

Answer 3

En general, una oda como $$ax^2y''+bxy'+cy=g(x)$$ is called Cauchy-Euler equation. What you should do is the solve the homogenous equation $$x^2y''-4xy'+6y=0$$ firstly and then find the particular solution for non-homogenous equation $$x^2y''-4xy'+6y=x$$ by other proper method like variation of parameter secondly. For the first step you can use $y=x^m$ and find the proper $m$'s for finding the general solution $y_c$.

Answer 4

Emmett, en el libro de Primaria Diferencial Ecuaciones y Problemas de Valor de Frontera - Boyce y DiPrima, en el Capítulo 3 trata exactamente esta tipo de ecuación que estás trabajando. Para ser más precisos, en la página 185, ejercicio 28 muestra una técnica para la resolución de problemas como el tuyo.

$$y'' + p(t)y' + q(t)y = g(t)$$

Incluso me hicieron hace algún tiempo con un método similar se presenta en este libro. Hoy no he podido seguir los pasos aquí y dar solución. A continuación, me gustaría ganar un par de puntos, y la respuesta, pero la matemática.stackexchange, la pierde. A continuación, busque en el capítulo 3 y ver qué puede hacer. Así que dile a nosotros más tarde. Abrazos.