Mostrar que una secuencia converge

Question

Supongamos que $\{ x_n \}_{ n = 1 }^\infty$ es una convergencia de la secuencia de los números reales con a $\lim_{ n \to \infty } x_n = x$. Definir $$ y_n = \frac{ x_1 + \cdots + x_n }{ n } $$ Mostrar que $\lim_{ n \to \infty } y_n = x$.

No estoy muy seguro de por dónde empezar.

Answer 1

Fix $\varepsilon>0$. Entonces existe $n_0$ tal que $|x_k-x|<\varepsilon$ siempre $k>n_0$. Entonces $$ |y_n-x|=\left|\frac1n\,\sum_{k=0}^nx_k-x\right|\leq\frac1n\,\sum_{k=0}^n|x_k-x|=\frac1n\,\sum_{k=0}^{n_0}|x_k-x|+\frac1n\,\sum_{k=n_0+1}^n|x_k-x|\\ \leq \frac1n\,\sum_{k=0}^{n_0}|x_k-x|+\frac1n\,(n-n_0-1)\,\varepsilon \leq \frac1n\,\sum_{k=0}^{n_0}|x_k-x|+\varepsilon. $$ Observe que la suma de la multiplicación de $1/n$ no depende de $n$. Así $$ \limsup_n|y_n-x|\leq\varepsilon. $$ Como $\varepsilon$ fue arbitraria, llegamos a la conclusión de que $\limsup_n|y_n-x|=0$, lo que muestra que $\lim_n|y_n-x|=0$, es decir,$\lim y_n=x$.

Answer 2

El siguiente es básicamente Martin del argumento, pero sin jugar con $\,\lim\sup\,$:

tomar cualquier $\,\epsilon>0\Longrightarrow\,\exists\,N_\epsilon\in\Bbb N\,\,s.t.\,\,|x_n-x|<\epsilon\,\,,\,\forall\,n>N_\epsilon\,$ . Ahora, tome $\,n>N_\epsilon\,$:

$$\left|\frac{x_1+\ldots+x_n}{n}-x\right|=\left|\frac{(x_1-x)+(x_2-x)+\ldots+(x_n-x)}{n}\right|\leq\left|\frac{(x_1-x)+\ldots+(x_{N_\epsilon}-x)}{n}\right|+\left|\frac{(x_{N_\epsilon+1}-x)+\ldots (x_n-x)}{n}\right|\leq$$

$$\leq \frac{k}{n}+\frac{n-N_\epsilon}{n}\epsilon$$

con $\,k\,$ un fijo constante positiva. Bien, ahora sólo tienes que hacer $\,n\to\infty\,$ ,y obtendrá

$$0\leq\left|\frac{x_1+\ldots+x_n}{n}-x\right|\leq 0+\epsilon=\epsilon$$

y desde $\,\epsilon\,$ fue arbitraria estamos hecho

Acclaration: Como el anterior es un ejercicio común en el inicio de los límites de las secuencias, puede ser que se administra antes de la $\lim\sup\,,\,\lim\inf\,$ y otras bestias se estudian, así que tal vez el enfoque es ligeramente más elementales.