A partir de la Clasificación Teorema de cerrado (es decir, compacta y sin fronteras) las superficies, se deduce que el $S^2$ es la única superficie cerrada con trivial $\pi _1$. Eso es fácil porque el grupo fundamental de la clasifica cerrado superficies.
Me gustaría llegar a la misma conclusión (es decir, que simplemente conectados a la superficie cerrada es isomorfo a $S^2$, en su categoría favorita) sin que el teorema. Es posible? Cualquier discusión acerca de (generalizada) de la conjetura de Poincaré podía encontrar empieza diciendo que en la dimensión $1$ $2$ es cierto porque de la clasificación de los teoremas (disponible en esas dimensiones), la dimensión de $3$ fue resuelto por Perelman y, a continuación, interruptores de alta dimensión salvaje de los casos. No hay ideas en una prueba directa en la dimensión $2$.
Mi intento: vamos a $S$ ser una superficie cerrada con $\pi_1(S)=1$; trivial $\pi_1$ implica que el $S$ es orientable, que $S$ está cubierto sólo por sí mismo, que cada incrustado bucle límites de un disco (por lo $S$ tiene género 1, puesto que el corte a lo largo de cada incrustado bucle se desconecta $S$); la compacidad descarta $\mathbb{R}^2$ $\partial S = \emptyset$ reglas de la unidad de disco. Pero aquí no sé cómo seguir. Tal vez, uno debe tratar de encontrar una explícita isomorfismo a $S^2$, pero no veo cómo.
