Los ideales generados por elementos irreductibles

Question

Deje $R$ ser un UFD y $f_1,\dots,f_n$ ser elementos irreductibles de $R$. ¿Se sigue de ahí que el ideal de la $\langle f_1,\dots,f_n\rangle$ es un alojamiento ideal?. Si no es cierto en general, entonces es verdadero en $k[x_1,\dots,x_n]$ donde $k$ es algebraicamente cerrado de campo.

Answer 1

No. E. g. supongamos que $R = k[x,y],$ $k$ algebraicamente cerrado. Luego se dice que el $f_i$ es irreductible, es lo mismo que decir que se corta una irreductible afín a la curva. A continuación, el ideal de $\langle f_1, f_2\rangle$ pertenece de la intersección de las curvas de $f_1 = 0$$f_2 = 0$, que suele no ser irreductible a menos $f_1$ $f_2$ asociados (es decir, múltiplos escalares de uno y otro, así que le cortaron la misma curva), o son ambos de grado $1$, es decir, ecuaciones de cortar las líneas. (Digo normalmente, porque estamos trabajando en el plano afín, en lugar de la proyectiva del plano, por lo que algunas de las intersecciones de los puntos de intersección de las dos curvas, podría ser en el infinito, y por lo tanto invisible a los ideales $\langle f_1,f_2 \rangle$.)

Para un hormigón contraejemplo, elegir cualquier no-asociado $f_1$$f_2$, con al menos uno de ellos no lineal, de tal manera que ninguno de los puntos de intersección de las curvas correspondientes se encuentran en el infinito, por ejemplo,$f_1 = x^2 - y$$f_2 = x-y$. A continuación, $\langle f_1,f_2\rangle = \langle x(x-1), x-y \rangle,$ que no es primo. (La intersección de la parábola $y =x^2$ y la línea de $y = x$ se compone de los dos puntos de $(0,0)$$(1,1)$.)

Answer 2

No, por ejemplo, en $R=\mathbb{Z}$, 2 y 3 son irreductibles, pero $$\langle 2,3\rangle=\mathbb{Z}$$ no es primo. Un contraejemplo para el caso especial en que le pidieron sería $R=k[x]$,$f_1=x$$f_2=x+1$, debido a que $$\langle x,x+1\rangle=k[x]$$ no es primo.