Solución $-$ Victor Wang
Vamos $r=35$, $I$, $\omega$, $u$, $O$, y $\Omega$ ser el inradius, incentro (dado), insphere, circunradio, circuncentro, y circumsphere de $SABC$, respectivamente. Vamos $s=SI=125$; $Q$ ser el reflejo de $S$ más de $O$; $F$ sea el pie de $S$ a un avión $ABC$; $h=SF$ ser la longitud de la $S$-altitud; $I_A$, $I_B$, $I_C$ ser los pies de $I$ a $SBC$, $SCA$, $SAB$, respectivamente; $O_A$, $O_B$, $O_C$, $O_S$ ser la circumcenters de triángulos $SAB$, $SBC$, $SCA$, $ABC$, respectivamente; y $a=108$ ser el común circunradio de triángulos $SAB$, $SBC$, $SCA$. Para mayor comodidad, definir $v = SI_A = SI_B = SI_C = \sqrt{s^2-r^2} = 120$.
En primer lugar, tomamos nota de que $OO_A^2 = OO_B^2 = OO_C^2 = u^2-a^2$ por el teorema de Pitágoras, por lo $O$ es equidistante de los tres planos $SAB$, $SBC$, $SCA$.
Tomando la sección transversal formada por $\triangle{OO_BO_C}$, podemos ver que $O$ se encuentra en uno de los dos aviones se divide en dos partes iguales el ángulo formado por los planos de $SAB$$SAC$: el interior de uno o el exterior de un (estos corresponden, naturalmente, a la de dos dimensiones interior y exterior de las bisectrices de un ángulo). Supongamos ahora por el bien de la contradicción que $O$ se encuentra en el exterior de la bisectriz (que es perpendicular al interior de uno), y WLOG supongamos avión $SAB$ separa $O$$C$. Desde $O$ es el centro de la $\Omega=(SABC)$,$a = R_{SAC} < R_{SAB} = a$, una contradicción. Por lo tanto $O$ debe estar en el interior de la bisectriz de un ángulo $P_A$$\angle{(SAB,SAC)}$.
Si queremos definir de manera similar $P_B,P_C$, $S,O,I\in P_A\cap P_B\cap P_C$ ($I$ se encuentra completamente dentro de $PABC$). Pero la intersección de tres planos sólo puede ser un punto, una línea, o el conjunto vacío, por lo $S,O,I$ deben ser colineales. Deje $\epsilon$ igual $+1$ si $O,S$ están en el mismo lado de avión $ABC$ $-1$ lo contrario. Claramente $O$ no puede ser mayor que $S$ (en relación al plano de $ABC$), desde la línea de $SI = SO$ cruza el interior de $\triangle{ABC}$. En particular, $S$ $Q$ debe estar en lados opuestos de $ABC$. (*) El uso de semejanza de triángulos y el teorema de Pitágoras, obtenemos
$$ \begin{align*} \frac{h-\epsilon OO_S}{h-r} = \frac{SO}{SI} = \frac{SO_A}{SI_A} \implies \frac{h-\epsilon\sqrt{u^2-R^2}}{h-r} = \frac{u}{s} = \frac{a}{v}.\tag{1} \end{align*}$$It immediately follows that $u = as/v = 225/2$.
Ahora vamos a calcular $h$ mediante la inversión (esto es natural debido a que varios círculos y esferas en nuestro diagrama de pasar a través de $S$, y cuando nos invertir acerca de $X$, el circuncentro de $\triangle{XYZ}$ se asigna únicamente a la reflexión de $X$$Y'Z'$). Invertir acerca de $S$ radio $\alpha$, y deje $J_A,J_B,J_C$ ser los puntos medios de $I'_A,I'_B,I'_C$, respectivamente. Observar que $SQ$ es un diámetro de $\Omega$, lo $\angle{SQ'A'}=\angle{SQ'B'}=\angle{SQ'C'} = 90^\circ$, de donde $Q'$ es el pie de $S$ $A'B'C'$(las esferas con diámetros de $SA'$, $SB'$, $SC'$ se cortan en $S$ y su reflejo sobre el plano formado por sus centros). Pero $J_A$ es el pie de$S$$B'C'$, lo $Q'P$ es minimizado $P\in B'C'$ $P=J_A$ (por el teorema de Pitágoras) y $J_A$ es el pie de$Q'$$B'C'$. Por otro lado, $SJ_A=SJ_B=SJ_C = \frac{\alpha^2}{2SI_A}$ implica $Q'J_A = Q'J_B = Q'J_C$, de donde $\triangle{A'B'C'}$ de la circunferencia inscrita $(J_AJ_BJ_C)$ y inradius
$$\begin{align*} t = Q'J_A = \sqrt{\left(\frac{\alpha^2}{2SI_A}\right)^2 - \left(\frac{\alpha^2}{2SO}\right)^2} = \frac{\alpha^2}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}-\frac{1}{u^2}} = \frac{\alpha^2}{2}\frac{r}{as}.\tag{2} \end{align*}$$(Indeed, according to (*), $Q'$ cannot be an excenter of $\triángulo{a'B'C'}$, since $P'$ lies on the same side of planes $SB C'=SBC,SC A'=SCA,SA B'=SAB$ as $a',B',C'$, respectivamente).
Queda por analizar $F'$. $\angle{SA'F'} = \angle{SB'F'} = \angle{SC'F'} = 90^\circ$, por lo $A',B',C'$ mentira en la esfera de la $\Gamma$ con diámetro de $SF'$. Deje $K$ ser el punto medio de la $SF'$ $L$ ser el pie de$K$$A'B'C'$; a continuación, $K$ es el centro de la $\Gamma$ $L$ es el circuncentro de $\triangle{A'B'C'}$. Si $x=SK$ denota el radio de $\Gamma$,$2x = SF' = \alpha^2/SF = \alpha^2/h$.
Afortunadamente, $Q'$, el pie de $S$, se encuentra en el interior de $\triangle{A'B'C'}$, lo $K$ no puede ser mayor que $S$ (en relación al plano de $A'B'C'$); por lo tanto $T$ se encuentra en ray $\overrightarrow{SQ'}$. Desde la (aguda) ángulo de $\theta$ entre las líneas de $SF'=SF$ $SQ'=SQ$ se fija en virtud de la inversión, obtenemos
$$ \frac{Q'L}{x} = \frac{TK}{SK} = \sin\theta = \frac{\sqrt{SI^2 - (h-r)^2}}{SI} = \frac{\sqrt{s^2-(h-r)^2}}{s} $$y
$$ KL = TQ' = \lvert SQ' - ST \rvert = \left\lvert \frac{\alpha^2}{2u} - SK\cos\theta \right\rvert = \left\lvert \frac{xh}{u} - x\frac{h-r}{SI} \right\rvert = x\left\lvert \frac{h}{u} - \frac{h-r}{s}\right\rvert. $$Plugging the previous two equations and (2) into Euler's formula (for $\triángulo{a'B'C'}$) rendimientos
$$\begin{align*}
x^2 - x^2\frac{(h-r)^2}{s^2} = x^2\frac{s^2-(h-r)^2}{s^2} = Q'L^2
&= R_{A'B'C'}^2 - 2tR_{A'B'C'} \\
&= (x^2 - KL^2) - \alpha^2\frac{r}{as}\sqrt{x^2 - KL^2} \\
&= x^2 - x^2\left(\frac{h}{u} - \frac{h-r}{s}\right)^2 - 2xh\frac{r}{as}x\sqrt{1 - \left(\frac{h}{u} - \frac{h-r}{s}\right)^2}.
\end{align*}$$Adding $-x^2$ to both sides, substituting $=uv$, and multiplying both sides by $-x^{-2}u^2s^2$, obtenemos
$$\begin{align*}
u^2(h-r)^2 &= (sh - u(h-r))^2 + \frac{2hrs}{v}\sqrt{u^2s^2 - (sh - u(h-r))^2} \\
-s^2h^2 + 2shu(h-r) &= \frac{2hrs}{v}\sqrt{u^2s^2 - (sh - u(h-r))^2} \\
v(-sh+2u(h-r))& = 2r\sqrt{u^2s^2 - (sh - u(h-r))^2} \\
(s^2-r^2)[h^2(2u-s)^2 - 4h(2u-s)ur + 4u^2r^2] &= 4r^2 [-h^2(s-u)^2 - 2h(s-u)ur - u^2(r^2-s^2)] \\
v^2[h(2u-s)^2 - 4(2u-s)ur] &= 4r^2 [-h(s-u)^2 - 2(s-u)ur],
\end{align*}$$donde
$$\begin{align*}
h = 4ur \frac{v^2(2u-s) - 2r^2(s-u)}{v^2(2u-s)^2 + 4r^2(s-u)^2}
&= 4\frac{225}{2}35\frac{120^2(225-125) - (35)^2(2\cdot125-225)}{120^2(225-125)^2 + (35)^2(2\cdot125-225)^2} \\
&= 70\cdot15^2\frac{120^2\cdot10^2-35^2\cdot5^2}{120^2\cdot10^4+35^2\cdot5^4} \\
&= 70\cdot3^2\frac{24^2\cdot2^2-7^2}{24^2\cdot2^4+7^2} \\
&= \frac{284130}{1853}.
\end{align*}$$We can find $\epsilon$ now (actually, $h>u$, so we trivially have $\epsilon=+1$), but this is unnecessary: plugging $h$ en (1) los rendimientos
$$\begin{align*}
R^2
&= u^2 - \left(h-\frac{a}{v}(h-r)\right)^2 \\
&= \frac{225^2}{2^2} - \left(\frac{284130}{1853}\left(1-\frac{108}{120}\right)+\frac{108\cdot35}{120}\right)^2 \\
&= \frac{9^2\cdot25^2}{2^2} - \left(\frac{28413}{1853}+\frac{9\cdot7}{2}\right)^2 \\
&= \frac{9^2\cdot25^2}{2^2} - \left(\frac{28413}{1853}+\frac{9\cdot7}{2}\right)^2 \\
&= \left(9^2 - \frac{28413}{1853}\right)\left(9\cdot16 + \frac{28413}{1853}\right) \\
&= \frac{121680\cdot295245}{1853^2} \\
&= \frac{35925411600}{3433609}.
\end{align*}$$Thus the answer is $35925411600+3433609 = \boxed{35928845209}$.
He publicado esto como un:
- bump
- ejemplo de una solución
- demo de lo que ya estaba en AoPS
