Es $\sqrt{x^2} = (\sqrt x)^2$?

Question

Tome $x=4$ por ejemplo:

$ \sqrt{(4)^2} = \sqrt{16} = \pm4 $

Sin embargo:
$ (\sqrt{4})^2 = \sqrt{\pm2}$
Caso 1: $ (-2)^2 = 4$
Caso 2: $ (2)^2 = 4$
Solución : $+4$

¿Cómo es el $ \sqrt{(4)^2} = \pm4$; pero $ (\sqrt{4})^2 = 4 $ ?
¿Qué le falta?

Answer 1

Descargo de responsabilidad: En la siguiente nos limitamos a los números reales, números complejos y similares en consideración.

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Por convención, la raíz cuadrada de un número positivo $t$, escrito como $\sqrt t$, se ha definido que la solución positiva de la ecuación de $x^2=t$. Esto le da significado a la siguiente forma de especificar las dos soluciones (positivos $t$): $$ x^2=t\iff x\in\{\sqrt t,-\sqrt t\} $$

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Con esto, su ejemplo se convierte en$\sqrt{4^2}=4$$(\sqrt 4)^2=4$, pero en el otro lado tenemos a $\sqrt{(-4)^2}=4$, mientras que de $(\sqrt{-4})^2$ no está definido, debido a que $\sqrt{-4}$ no está definido, ya $x^2=-4$ no tiene soluciones.

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En general, $\sqrt{x^2}$ está de acuerdo con $(\sqrt x)^2$ no negativos de entrada de $x$, mientras que sólo la primera está definida para valores negativos de $x$.

Answer 2

En general:

$$\sqrt{x^2}=|x|\implies \sqrt{x^2}=\left(\sqrt{|x|}\right)^2=|x|$$

Answer 3

Para el ejemplo se olvida de que $x\mapsto \sqrt{x}$ es una función y por lo tanto tienen sólo una imagen, esta imagen es no negativa.

Por cierto: hay una gran diferencia entre las funciones $$f(x)=\sqrt{x^2}$$ and $$g(x)=(\sqrt{x})^2$$ es su dominio de definición. Mientras que $f$ id definido en $\Bbb R$, $g$ sólo está definida en $[0,\infty)$. En particular, $f$ no es bijective en oposición a $g$.

Answer 4

$\sqrt{x^2} = \sqrt{x \cdot x} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = \sqrt{x}^2$

Answer 5

Esto es proporcionado $x\ge 0$. Lo que vemos aquí es la especificación de las reglas. Para especificar una función completamente, se debe especificar su dominio y codominio. $x\mapsto\sqrt{x^2}$ tiene sentido en $\mathbb{R}$. $x\mapsto\left(\sqrt{x}\right)$ sólo tiene sentido para $x\ge 0$. Así que a menos que corte de dominio, estas funciones no equivalentes.