Probar $\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{(n-1)n}$ = $\frac{(n-1)}{n}$ el uso de la inducción.

Question

Tengo que probar $\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{(i-1)i}$ = $\frac{(n-1)}{n}$ el uso de la inducción. Estoy pegado a mitad de camino a través del paso inductivo.

Aquí es lo que tengo:

$\forall n\geq 2$ donde $n\in\mathbb{N}, P(n)$ es la declaración de "$\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{(i-1)i}$ = $\frac{(n-1)}{n}$".

Caso Base:

$\sum_{i=2}^{2}\frac{1}{(i-1)i}$ = $\frac{1}{2}$ = $\frac{(2-1)}{2}$ por lo $P(2)$ es cierto.

Inductivo hipótesis: Supongamos $P(n)$ es cierto. Necesidad de mostrar $\sum_{i=2}^{n+1}\frac{1}{(i-1)i}$ = $\frac{((n+1)-1)}{(n+1)}$.

$\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{(i-1)i}$ + $\frac{1}{n^{2}}$ = $\frac{(n-1)}{n}$ + $\frac{1}{n^{2}}$

= $\frac{n(n-1) + 1}{n^{2}}$ = $\frac{n^{2}-n+1}{n^{2}}$ Me quedé atrapado aquí y trató de trabajar hacia atrás a partir de $\frac{((n+1)-1)}{(n+1)}$, lo que me da:

$\frac{((n+1)-1)}{(n+1)}$ = $\frac{n}{(n+1)}$

Alguna sugerencia sobre qué hacer o donde me pueden ir mal?

Answer 1

Para $n\geq 2$, vamos a $S(n)$ denotar la declaración de $$ S(n) : \sum_{i=2}^n \frac{1}{(i-1)i}=\frac{n-1}{n}. $$ Base de el paso ($n=2$): $S(2)$ dice que $\frac{1}{(2-1)2}=\frac{1}{2}=\frac{2-1}{2}$, y esto es cierto.

Inductivo paso: Revisión de algunos $k\geq 2$ y asumir que $S(k)$ es cierto cuando $$ S(k) : \sum_{i=2}^k \frac{1}{(i-1)i}=\frac{k-1}{k}. $$ Para ser mostrado es que $S(k+1)$ sigue donde $$ S(k+1) : \sum_{i=2}^{k+1} \frac{1}{(i-1)i}=\frac{k}{k+1}. $$ Comenzando con el lado izquierdo de $S(k+1)$, \begin{align} \sum_{i=2}^{k+1} \frac{1}{(i-1)i} &= \frac{1}{k(k+1)}+\sum_{i=2}^{k}\frac{1}{(i-1)i}\tag{by defn. of %#%#%}\\[1em] &= \frac{1}{k(k+1)}+\frac{k-1}{k}\tag{by ind. hyp.}\\[1em] &= \frac{1+(k-1)(k+1)}{k(k+1)}\tag{common denom}\\[1em] &= \frac{k^2}{k(k+1)}\tag{simplify}\\[1em] &= \frac{k}{k+1}\tag{desired expression}, \end{align} terminamos en el lado derecho de la $\Sigma$, completando el paso inductivo.

Así, por inducción matemática, la declaración de $S(k+1)$ es cierto para todos $S(n)$. $n\geq 2$

Answer 2

Suponga $\sum_{i=2}^n\frac{1}{(i-1)i}=\frac{n-1}{n}$. Entonces $$\sum_{i=2}^{n+1}\frac{1}{(i-1)i}=\sum_{i=2}^n\frac{1}{(i-1)i}+\frac{1}{n(n+1)}\stackrel{\text{ind. hyp.}}=\frac{n-1}{n}+\frac{1}{n(n+1)}=$$$$=\frac{(n-1)(n+1)+1}{n(n+1)}=\frac{n^2-1+1}{n(n+1)}=\frac{n^2}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}=\frac{(n+1)-1}{n+1}$$

Su problema fue que agregó $\frac{1}{n^2}$ en lugar de $\frac{1}{n(n+1)}$. Usted quiere que lo agregue a ser el $n+1$'th miembro de la secuencia $a_n=\frac{1}{(n-1)n}$, de modo que usted encontrará $\sum_{i=2}^{n+1}a_i$ ( $\sum_{i=2}^n a_i+a_{n+1}$ ) dado $\sum_{i=2}^n a_i$.

También debe indicar la suma por $\sum_{i=2}^n \frac{1}{(i-1)i}$, no $\sum_{i=2}^n \frac{1}{(n-1)n}$.

Además de que, más tarde afirmó que $\frac{n}{n+1}=n+1$, lo cual es falso.

Answer 3

Se le pide que utilice la inducción, pero no es necesario.

$$\sum_{k=2}^n \frac{1}{k(k-1)} = \sum_{k=2}^n \left(\frac{1}{k-1} - \frac 1k\right) = 1 - \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n},$$ porque la suma en el medio es telescópica.

Answer 4

Usted puede probar una equivalencia de Principio de Inducción, El principio de orden. Vamos a ser $X=\{n\in\mathbb{N}:\displaystyle\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{(i-1)i}\neq\dfrac{n-1}{n}\}$, Supongamos $X\neq\emptyset$ así que por el Bien principio de orden, existen algunos $k\in X$ el mínimo elemento, por lo $k\neq 2$ $2\in X^c$ (debe mostrar en su proccedure). $$\displaystyle\sum_{i=2}^{k}\frac{1}{(i-1)i}\neq\dfrac{k-1}{k}...(1)$$ Por lo tanto $k\neq1, \exists k-1\in\mathbb{N}$ tal $s(k-1)=k$, $k-1<k$ por lo $k-1\in X^c$, debido a $k$ es el mínimo de $X$: $$\displaystyle\sum_{i=2}^{n-1}\frac{1}{(i-1)i}=\dfrac{k}{k-1}...(2)$$

En $(2)$, suma a ambos lados de la $\dfrac{1}{(k-1)k}$ y con algunos aritmetic debe mostrar y contradicción que lleva a suponer $X\neq\emptyset$, $X=\emptyset$ y se mantiene para todos los $n\in\mathbb{N}\setminus{1}$