Digamos que tengo esta integral:
$$\int_0^\infty e^{-t} \, dt$$
Y yo hacer la sustitución:
$$t = nu$$
Entonces, ¿por qué puedo decir que: $$dt = n\,du$$ y, a continuación, poner esto en mi integral como este:
$$\int_0^\infty e^{-nu}n\,du$$
Lo que está sucediendo en el fondo que permiten que esto sea hecho? Yo estoy pidiendo esto porque no me siento cómoda amenazando diferencial de los operadores como de las fracciones y no sé por qué esto puede ser hecho.
Es sólo una manera de mirar a la regla de la cadena.
La regla de la cadena es la diferenciación por sustitución.
Uno puede escribir $$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x),$$ o que uno puede ver $$ \frac{d}{dx} f(g(x)) $$ y, a continuación, hacer esta sustitución: $$ u = g(x),\qquad \frac{du}{dx} = g'(x). $$ Entonces uno escribe $$ \frac{d}{dx} f(g(x)) = \frac{d}{dx} f(u) = \frac{df(u)}{dx} = \frac{df(u)}{du}\cdot\frac{du}{dx} = f'(u)\cdot g'(x) = f'(g(x))\, g'(x). $$
De la misma manera, cuando uno los ve $$ \int f'(g(x)) g'(x) \,dx, $$ uno hace la sustitución $$ u=g(x),\qquad \frac{du}{dx} = g'(x),\qquad du = g'(x)\,dx. $$ Entonces uno tiene $$ \int f'(g(x)) g'(x) \,dx = \int f'(u)\,du = f(u)+C = f(g(x))+C. $$
Para que la integración por sustitución es la regla de la cadena en sentido inverso, así como la integración por partes es el producto de la regla de la inversa.
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