Cuando son mínimos y características de los polinomios de la misma?

Question

Supongamos que estamos trabajando sobre un complejo espacio de $W$ de la dimensión de $n$. Cuando un operador en este espacio tienen la misma característica y un mínimo de polinomio?

Creo que el caso fácil es cuando el operador ha $n$ autovalores distintos, pero ¿qué pasa si es diagonalizable? Es esto suficiente, o puede haber casos (con la repetición de la eigvals) cuando char poli no es igual min poli? ¿Cuáles son las condiciones generales, cuando la igualdad se mantiene? Es posible definir sin el uso de determinante? (Estoy trabajando por Axler y a él no le gusta.)

Gracias.

Answer 1

Teorema. Deje $T$ ser un operador de referencia en el finito dimensionales complejo espacio vectorial $\mathbf{W}$. El polinomio característico de a $T$ es igual al polinomio mínimo de a $T$ si y sólo si la dimensión de cada subespacio propio de $T$$1$.

Prueba. Deje que el carácter y el polinomio mínimo, respectivamente, a$\chi(t)$$\mu(t)$, con $$\begin{align*} \chi(t) &= (t-\lambda_1)^{a_1}\cdots (t-\lambda_k)^{a_k}\\ \mu(t) &= (t-\lambda_1)^{b_1}\cdots (t-\lambda_k)^{b_k}, \end{align*}$$ donde $1\leq b_i\leq a_i$ por cada $i$. A continuación, $b_i$ es el tamaño de la más grande de Jordania bloque asociado a $\lambda_i$ en la forma canónica de Jordan de a $T$, y la suma de los tamaños de los bloques de Jordan asociados a $\lambda_i$ es igual a $a_i$. Por lo tanto, $b_i=a_i$ si y sólo si $T$ tiene un único bloque de Jordan asociada a $\lambda_i$. Desde la dimensión de la $E_{\lambda_i}$ es igual al número de bloques de Jordan asociados a $\lambda_i$ en la forma canónica de Jordan de a $T$, se deduce que el $b_i=a_i$ si y sólo si $\dim(E_{\lambda_i})=1$. QED

En particular, si la matriz tiene $n$ autovalores distintos, cada autovalor tiene un uno-dimensional espacio propio.

También, en particular,

Corolario. Deje $T$ ser un operador diagonalizable en un número finito de dimensiones de espacio vectorial $\mathbf{W}$. El polinomio característico de a $T$ es igual al polinomio mínimo de a $T$ si y sólo si el número de los distintos autovalores de a$T$$\dim(\mathbf{W})$.

El uso de la Forma Canónica Racional en su lugar, se obtiene:

Teorema. Deje $W$ ser finito dimensional espacio vectorial sobre el campo $\mathbf{F}$, e $T$ a un operador en $W$. Deje $\chi(t)$ ser el polinomio característico de a $T$, y asumir que la factorización de $\chi(t)$ en irreducibles sobre $\mathbf{F}$ es $$\chi(t) = \phi_1(t)^{a_1}\cdots \phi_k(t)^{a_k}.$$ Entonces, el polinomio mínimo de a $T$ es igual al polinomio característico de a $T$ si y sólo si $\dim(\mathrm{ker}(\phi_i(T)) = \deg(\phi_i(t))$$i=1,\ldots,k$.

Prueba. Proceder como en el anterior, el uso Racional formas Canónicas en su lugar. El exponente $b_i$ $\phi_i(t)$ en el mínimo polinomio que da el mayor poder de $\phi_i(t)$ que tiene un compañero de bloque en el Racional de la forma canónica, y $\frac{1}{d_i}\dim(\mathrm{ker}(\phi_i(T)))$ (donde $d_i=\deg(\phi_i)$) es el número de compañero de bloques. QED

Answer 2

Los siguientes criterios equivalentes, válidos para un campo arbitrario, son cortas para el estado. Si o no alguna de las condiciones es fácil probar computacionalmente puede depender de la situación, a pesar de que 2. es en priciple siempre factible.

La proposición. Los siguientes son equivalentes para un operador lineal sobre un espacio vectorial de un valor distinto de cero de dimensión finita.

1. El mínimo polinomio es igual al polinomio característico.
2. La lista de factores invariantes de longitud uno.
3. La Forma Canónica Racional tiene un solo bloque.
4. El operador dispone de una matriz similar a un compañero de la matriz.
5. Existe una (la llamada cíclica) vector cuyas imágenes por el operador ocupar la totalidad del espacio.

Punto 1. y 2. son equivalentes porque a la mínima que el polinomio es el mayor factor invariante y el polinomio característico es el producto de todos los factores invariantes. El invariante factores están en bijection con los bloques de la Forma Canónica Racional, dando la equivalencia de 2. y 3. Estos bloques están compañero de matrices, por lo que 3. implica 4., y por la singularidad de la RCF 4. también implica 3 (cada compañero de la matriz es su propia RCF). Por último, 4. implica 5. (tome la primera a la base de vectores como el vector) y 5. implica 4. tomando una base que consta de $n$ imágenes sucesivas (contando desde $0$) de la cíclico vector.

Answer 3

Aquí es una generalización del principal, ideal dominios.

Deje $A$ ser un director ideal de dominio, $p$ un elemento irreductible de $A$, e $M$ un finitely generadas $A$-módulo aniquilado por algún poder de $p$.

Entonces no hay una única no decreciente tupla $(n_1,\dots,n_k)$ de enteros positivos tal que $M$ es isomorfo a la suma directa de las $A/(p^{n_i})$.

La característica ideal de $M$ $(p^s)$ donde $s$ es la suma de los $n_i$; y el aniquilador de $M$$(p^{n_k})$. Deje $\phi$ ser el endomorfismo $x\mapsto px$$M$.

Las siguientes condiciones son claramente equivalente:

• $k=1$,

• $s=n_k$,

• $\text{Ker }\phi\simeq A/(p)$,

• $\text{Coker }\phi\simeq A/(p)$.