Medidas de $\mu$ tal que $\mu(a+A)\leq c\ \mu(A)$

Question

Deje $\mu$ ser una medida positiva en $\mathbb{R}$ tal que $\mu[a,b]<+\infty$, para todos los $a,b\in\mathbb{R}$$\mu(\mathbb{R})=+\infty$. El conjunto $a+A$ denota la traducción de $A$ por una, es decir,$a+A=\{a+x, \text{with }x\in A \}$.

Considerar las siguientes hipótesis en la medida de $\mu$:

(H0) Para todos los $a\in \mathbb{R}$ $A$ medibles conjunto

$$\mu(a+A)=\mu(A).$$

(H1) $\exists c>0$ tal que para todos los $a\in \mathbb{R}$ $A$ medibles conjunto

$$\mu(a+A)\leq c\ \mu(A).$$

Tenga en cuenta también el más débil de la hipótesis:

(H2) Para todos los $a\in \mathbb{R}$, $\exists c_a>0$ tal que para todos los $A$ medibles conjunto

$$\mu(a+A)\leq c_a\ \mu(A).$$

Sabemos que si $\mu$ satisface (H0), a continuación, $\mu$ no es sino la medida de Lebesgue multiplicada por una constante. ¿Qué podemos decir acerca de (H1) y (H2) ?

Answer 1

Fix$\beta>0$$c \geq 1$. Para cualquier función medible $f(x)$ que satisface $1 \leq f(x) \leq c$ todos los $x \in \mathbb{R}$, la medida de $\mu(A) = \int_{x\in A} \beta f(x)dx$ satisface H1.

A continuación se muestra, que en este ejemplo la estructura de la captura de cada medida $\mu(A)$ que satisface H1 junto con las propiedades $\mu([0,1])<\infty$$\mu(\mathbb{R})>0$.

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Deje $L(A)$ ser la habitual de medida de Lebesgue. Deje $\mu(A)$ ser cualquier medida en el mismo $\sigma$-álgebra que satisface $\mu([0,1])<\infty$$\mu(\mathbb{R})>0$. Supongamos $\mu(A)$ satisface H1 con respecto a un determinado número de $c\geq 1$. Definir $\beta = \inf_{a<b} \left[\frac{\mu([a,b])}{L([a,b])}\right]$, donde el infimum se toma sobre todas cerrado finito de intervalos de $[a,b]$. Usted puede probar que:

(1) $0 < \beta < \infty$.

(2) Para cualquier intervalo de $[a,b]$ ha $\beta L([a,b]) \leq \mu([a,b]) \leq c\beta L([a,b])$.

(3) Por las propiedades de interior y exterior de Lebesgue medida, a la propiedad, (2) implica $\beta L(A) \leq \mu(A) \leq c\beta L(A)$ para todos los Lebesgue medibles conjuntos de $A$.

(4) la Propiedad (3) implica $\mu(A)$ es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, y así (por Radon-Nikodym) no es una función medible $g(x)$ tal que $\mu(A) = \int_{x\in A} g(x)dx$ para todos los conjuntos medibles $A$. Definir $f(x) = g(x)/\beta$.

(5) Se puede demostrar que los $1 \leq f(x) \leq c$ en casi todas partes (por lo que sólo definimos ser 1 en los puntos donde esto es violado). A continuación, $\mu(A)$ tiene la forma $\mu(A) = \int_{x\in A} \beta f(x)dx$ para una función medible $f(x)$ que satisface $1 \leq f(x)\leq c$ todos los $x \in \mathbb{R}$.