Intuitivamente parece correcto pero ¿alguien ve cómo demostrar algebraicamente que $$\sigma^2_y=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2=\frac{1}{n^2}\sum_{i<j}(y_i-y_j)^2$$ suponiendo que $\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i$
Ampliar da: $$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left[y_i^2-\frac{2}{n}y_i\sum_{j=1}^{n}y_j+(\frac{1}{n^2}\sum_{j=1}^{n}y_j)^2)\right]$$ ¿Existe una manera fácil de factorizar esto?
Recordemos que, si $\text{var}(X_i)=\sigma^2$ entonces $$\mathbb{E}[(X_i-X_j)^2]=\text{var}(X_i-X_j)=2\sigma^2$$ La expansión que ayuda es \begin{align*} \sum_{i<j}(y_i-y_j)^2&=\frac{1}{2}\sum_{i<j}(y_i-y_j)^2+\frac{1}{2}\sum_{i>j}(y_i-y_j)^2\qquad\text{[by symmetry]}\\&=\frac{1}{2}\sum_{i<j}(y_i-y_j)^2+\frac{1}{2}\sum_{i>j}(y_i-y_j)^2+\underbrace{\frac{1}{2}\sum_{i=j}(y_i-y_j)^2}_{\text{equal to }0}\\&=\frac{1}{2}\sum_{i,j}(y_i-y_j)^2\\&=\frac{1}{2}\sum_{i,j}(y_i-\bar{y}+\bar{y}-y_j)^2\\&=\frac{1}{2}\sum_{i,j}\left\{(y_i-\bar{y})^2+(\bar{y}-y_j)^2+2(y_i-\bar{y})(\bar{y}-y_j)\right\}\\&=\frac{1}{2}\sum_{i,j}(y_i-\bar{y})^2+\frac{1}{2}\sum_{i,j}(\bar{y}-y_j)^2+\underbrace{\sum_{i,j}(y_i-\bar{y})(\bar{y}-y_j)}_{\text{equal to }0}\\&=\frac{n}{2}\sum_{i}(y_i-\bar{y})^2+\frac{n}{2}\sum_{j}(\bar{y}-y_j)^2+\overbrace{\sum_{i}(y_i-\bar{y})\sum_{j}(\bar{y}-y_j)}\\&=n\sum_{i}(y_i-\bar{y})^2 \end{align*} Q.E.D.
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Aunque encontrar esas fórmulas para las formas cuadráticas pueden ser un poco complicadas, comprobación de es fácil: como ambos lados son obviamente homogéneos, serán iguales si y sólo si sus derivadas son iguales. El $y_k$ La derivada del lado izquierdo es $$\frac{1}{n}\left(2(y_k-\bar y) + \sum_{i=1}^n 2(y_i-\bar y)\frac{1}{n}\right)=\frac{2}{n}\left(y_k - \bar y + \frac{1}{n}\sum y_i - \bar y\right)=\frac{2}{n}(y_k-\bar y)$$ mientras que en el lado derecho es $$\frac{1}{n^2}\sum_{i\ne k} 2(y_k-y_i)=\frac{2}{n}(y_k-\bar y),$$ QED . Por lo tanto, ni siquiera es necesaria la factorización.