Intuitivamente parece correcto pero ¿alguien ve cómo demostrar algebraicamente que σ2y=1nn∑i=1(yi−ˉy)2=1n2∑i<j(yi−yj)2 suponiendo que ˉy=1n∑ni=1yi
Ampliar da: 1nn∑i=1[y2i−2nyin∑j=1yj+(1n2n∑j=1yj)2)] ¿Existe una manera fácil de factorizar esto?
Recordemos que, si var(Xi)=σ2 entonces E[(Xi−Xj)2]=var(Xi−Xj)=2σ2 La expansión que ayuda es ∑i<j(yi−yj)2=12∑i<j(yi−yj)2+12∑i>j(yi−yj)2[by symmetry]=12∑i<j(yi−yj)2+12∑i>j(yi−yj)2+12∑i=j(yi−yj)2⏟equal to 0=12∑i,j(yi−yj)2=12∑i,j(yi−ˉy+ˉy−yj)2=12∑i,j{(yi−ˉy)2+(ˉy−yj)2+2(yi−ˉy)(ˉy−yj)}=12∑i,j(yi−ˉy)2+12∑i,j(ˉy−yj)2+∑i,j(yi−ˉy)(ˉy−yj)⏟equal to 0=n2∑i(yi−ˉy)2+n2∑j(ˉy−yj)2+⏞∑i(yi−ˉy)∑j(ˉy−yj)=n∑i(yi−ˉy)2 Q.E.D.
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Aunque encontrar esas fórmulas para las formas cuadráticas pueden ser un poco complicadas, comprobación de es fácil: como ambos lados son obviamente homogéneos, serán iguales si y sólo si sus derivadas son iguales. El yk La derivada del lado izquierdo es 1n(2(yk−ˉy)+n∑i=12(yi−ˉy)1n)=2n(yk−ˉy+1n∑yi−ˉy)=2n(yk−ˉy) mientras que en el lado derecho es 1n2∑i≠k2(yk−yi)=2n(yk−ˉy), QED . Por lo tanto, ni siquiera es necesaria la factorización.