Planeando hablar sobre la resonancia en DE.
La solución al PIV $$y''+y=\cos(t),\quad y(0)=y'(0)=0$$ es $$y=\frac12 t\sin(t).$$ Resonancia, genial.
Ahora bien, ¿qué pasa si la función de forzamiento tiene casi ¿la frecuencia de resonancia? Si $\alpha^2\ne1$ la solución a $$y''+y=\cos(\alpha t),\quad y(0)=y'(0)=0$$ es $$y=\frac1{1-\alpha^2}(\cos(\alpha t)-\cos(t)).$$ Es agradable observar que esto es $\sim\frac12 t\sin(t)$ como $t\to0$ y que para cada $t$ tiende a $\frac12 t\sin(t)$ como $\alpha\to1$ .
Para un fijo $\alpha$ cerca de $1$ está claro, si se piensa en ello, que $\cos(\alpha t)-\cos(t)$ exhibe "latidos": hay intervalos en los que está cerca de $2\cos(\alpha t)$ e intervalos en los que está cerca de $0$ . Por desgracia, cuando digo "tú" aquí también está claro que me refiero a usted no a mis alumnos de EAD.
De ahí la pregunta: ¿Existe una forma inteligente de escribir $\cos(\alpha t)-\cos(t)$ para que los latidos sean evidentes? Como si estuviera claro que $\cos(\epsilon t)\cos(t)$ muestra ritmos - ¿algo análogo a eso? Por supuesto. $$e^{i\alpha t}-e^{it}=e^{it}(e^{i(\alpha-1)t}-1),$$ pero prefiero evitar los números complejos aquí y lamentablemente la parte real de un producto no es el producto de las partes reales. Podría usar eso, o simplemente la fórmula de la suma del coseno, para obtener una suma de dos productos, cada uno de los cuales es el tipo de cosa que quiero. Pero escribirlo como sólo el producto de algo con frecuencia $1$ y algo con baja frecuencia sería mucho más agradable.
Esto debe ser bien estudiado por la gente que estudia estas cosas...
